Центр масс
В ряде случаев для упрощения решения задачи описания движения в системах, состоящих из большого количества частиц, полезно использовать понятие центра масс. Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой rc задается уравнением:
rc = Σ(mi·ri)/Σmi = Σ(mi·ri)/M,
где mi и ri - масса и радиус-вектор i-й частицы системы;
M - масса системы.
Другими словами, центр масс представляет собой среднее взвешенное значение радиус-векторов отдельных частиц с весовыми множителями, равными отношению соответствующих масс частиц к массе системы.
Пример решения задачи.
Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс системы, если радиус первого шара 5 см, радиус второго шара 7 см, а длина стержня 30 см.
Выполним рисунок.
Запишем условие равновесия системы относительно оси, проходящей через ее центр масс C :
Моменты, созданные силами тяжести:
Подставим значения моментов в условие равновесия:
Переведем единицы в систему СИ: R1=5 см =0,05 м; R2=7 см =0,07 м.
Вычислим:
Ответ: Центр тяжести системы находится на расстоянии 5 см от середины стержня в сторону большего шара.
Теорема о движении центра масс
В любой
системе частиц имеется одна замечательная
точка, называемая центром масс, которая
обладает рядом интересных и важных
свойств. Ее положение относительно
начала данной системы координат
характеризуется радиус-вектором 
,
определяемым как
|
|
(2.10) |
,
где 
–
масса и радиус-вектор 
-й
частицы, 
–
масса всей системы, 
–
полное число частиц в системе. Если
взять производную по времени от обеих
частей уравнения и умножить обе части
на 
,
то получится:
или
,
где 
–
скорость движения центра масс системы.
Таким образом, импульс системы материальных
точек равен произведению массы системы
на скорость ее центра масс:
.
Подставив это выражение в (2.9), получим:
|
|
(2.11) |
.Отсюда следует, что центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Этот результат называется теоремой о движении центра масс системы материальных точек. Уравнение (2.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему материальных точек: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.
Если
система замкнута, то 
и
уравнение (2.11) переходит в 
,
следовательно, 
.
Таким образом, центр масс замкнутой
системы движется прямолинейно и
равномерно или покоится.
Законы сохранения физ. Величин
Законы сохранения физических величин – это утверждения, согласно которым численные значения этих величин не меняются со временем в любых процессах или классах процессов. Фактически во многих случаях законы сохранения просто вытекают из принципов симметрии.
Идея сохранения появилась сначала как чисто философская догадка о наличии неизменного, стабильного в вечно меняющемся мире. Еще античные философы-материалисты пришли к понятию материи как неуничтожимой и несотворимой основы всего сущего. С другой стороны, наблюдение постоянных изменений в природе приводило к представлению о вечном движении материи как важном ее свойстве. С появлением материалистической формулировки механики на этой основе появились законы сохранения.
Законы сохранения тесно связаны со свойствами симметрии физических систем. При этом симметрия понимается как инвариантность физических законов относительно некоторой группы преобразований входящих в них величин. Наличие симметрии приводит к тому, что для данной системы существует сохраняющаяся физическая величина. Если известны свойства симметрии системы, как правило, можно найти для нее закон сохранения и наоборот.
Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются:
закон сохранения энергии;
закон сохранения импульса;
закон сохранения момента импульса.
В современной физике обнаружена определенная иерархия законов сохранения и принципов симметрии. Одни из этих принципов выполняются при любых взаимодействиях, другие же – только при сильных. Эта иерархия отчетливо проявляется во внутренних принципах симметрии, которые действуют в микромире.
В неинерциальных системах отсчета к внешним силам относят силы инерции. В таких системах всегда присутствуют внешние силы, то есть замкнутые системы возможны в случае инерциальных систем отсчета.
В случае если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой или изолированной.
Во Вселенной не может быть полностью изолированных систем, поскольку все тела взаимодействуют между собой. Однако при определенных условиях можно тело считать в достаточной степени изолированным. Например, материальное тело в некоторой области космического пространства, достаточно удаленной от массивных космических тел, ведет себя как изолированная система. В других случаях движение системы в определенных направлениях можно рассматривать как движение замкнутой системы, хотя в целом система таковой не является.