Сложение обладает свойствами:

1.  и + = +

2.  , и ( + )+ = +( + )

3. Существует вектор такой, что  + = ( - нулевой вектор)

4.   «- » такой, что +(- )= .

(«- » называется противоположенным вектору ).

Доказательство свойств 1 и 2 схематично изображены на рис 3.3(а) и 3.3(б), соответственно.

С войство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:

+ = , =

Свойство 4 представляет правило сложения

+ = = ,

где естественно считать =- . Длину направленного отрезка будем обозначать | |. Очевидно, что | | = | |.

Операция умножения отрезка на число  определяет направленный отрезок = . Длина | |= || | |; направление то же, что и у отрезка , если >0, и обратное, если <0.

Свойства операции умножения:

1.  ·1= .

2.  , R и   (  ) = (   ) .

3.  R и  ,  ( + ) =  +  .

4.  , R и  (+) =  +  .

Доказательство четырёх свойств сложения ( два мы уже доказали) и четырёх свойств умножения на число для направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.

Теперь сформулируем понятие вектора как элемента модели направленных отрезков.

Определение.

Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами геометрической модели направленных отрезков.

В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор - это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число так же инвариантны относительно параллельного переноса.

Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства направленных отрезков.

Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим ещё одну модель - арифметическую (координатную) модель векторного пространства.

3.2 Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков

В этом пункте для направленных отрезков, являющихся элементами геометрической модели векторного пространства, мы построим координатную (арифметическую) модель так, что нам потребуются лишь восемь свойств направленных отрезков сформулированных выше и следующая теорема размерности.

Выражения вида  + +…+ называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.

Теорема размерности.

1. Пусть вектор параллелен вектору ₁, тогда существует единственное xR такое, что =x ₁.

2. П усть два вектора лежат в плоскости и пусть вектор ₁ не параллелен вектору ₂. Тогда всякий вектор этой плоскости есть единственная линейная комбинация векторов ₁ и ₂:

= х ₁ +у ₂.

3. Пусть векторы ₁, ₂ и ₃ не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их единственная линейная комбинация:

= x ₁ + y ₂ + z ₃

Доказательство проведем только для второго случая.

Выберем произвольную точку О на плоскости и отложим из нее векторы _{1, 2} и . На направления ₁ и ₂ отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х ₂ и у ₂. Тогда получим требуемое равенство = х ₁ +у ₂. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.

Будем говорить, что векторы ₁ и ₁, рис. 3.4, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у в этом разложении назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.

Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.