7.2 Независимость аксиоматической системы.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена (или опровергнута) из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.

Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата "Начал" Евклида является поучительным тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых углов в последствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее других "очевидных" утверждений). Возник вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых. Тем более, см. замечание к аксиоме параллельности в §2 , что как бы "половина доказательства" аксиомы параллельности уже была известна. Более двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других "более очевидных" утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких-либо "очевидных" утверждений, аксиом и постулатов.

Сформулируем назревший вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность). Такое условие существует и для совместной системы аксиом формируется следующим образом в терминах реализаций.

Теорема. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Утверждение А не зависит от системы аксиом Т, если вместе с некоторой реализацией R₁ (Т , А) системы Т и утверждения А существует некоторая другая реализация R₂(T, А ) системы Т и отрицания утверждения А.

Доказательство. Пусть существует реализация R₂(T, A) системы аксиом Т и отрицания утверждения - А, и пусть Т А. Тогда реализация R₂(T, A) содержит вместе со свойством А и его отрицание А= (А), что несовместимо с понятием реализации (см. п.6.3, §6, если в реализации выполняется некоторое свойство, то не может выполнятся одновременно и его отрицание). Следовательно, предположение Т А (о том, что А следует из Т) неверно. Точно так же можно проверить, что наличие реализации R₁(Т ,А) не позволяет опровергнуть утверждение А. Действительно, пусть Т _˥ А, то есть, имеет место опровержение утверждения А. Тогда реализация R₁(Т , А) вместе со свойством А обладает и свойством А, что невозможно по определению реализации. Теорема доказана.

В качестве применения этого достаточного условия докажем независимость аксиомы параллельности от всех остальных 14 аксиом планиметрии.

7.3 Независимость аксиомы параллельности.

Напомним, что планиметрия строится на основе системы из 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2.,§2). Пусть Т={T₁,...,T₁₄} – система аксиом абсолютной планиметрии без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализации R₁(T,П) системы аксиом Т и П возьмем модель R² - арифметической евклидовой плоскости : R²= R₁(T,П). В качестве реализаций R₂(T,П) возьмем модель Пуанкаре L₂= R₂(T,П). Непротиворечивость этих реализаций сводится, как было замечено в п.7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализаций R₁(T,П) и R₂(T,П), согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в п.7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии. Действительно, допустим, что аксиому параллельности в формулировке евклидовой геометрии можно доказать. Тогда имеет место импликация Т={T₁,...,T₁₄} П. Но это противоречит существованию реализации L₂= R₂(T,П), в которой окажутся два взаимоисключающих утверждения П и П. Допустим, что эту аксиому параллельности можно опровергнуть. Тогда справедлива следующая импликация Т={T₁,...,T₁₄} П. Но это противоречит реализации R²= R₁(T,П), в которой снова окажутся два взаимоисключающих утверждения П и П. Независимость аксиомы параллельности в евклидовой геометрии доказана.

Аналогично доказывается независимость аксиомы параллельности в геометрии Лобачевского с использованием тех же реализаций - реализации

R²= R₁(T,П) и L₂= R₂(T,П).