8.6 “Ахиллес и черепаха”.

Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.

Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483-375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.

«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “а” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “а”, то черепаха уползет вперед на расстояние “а”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “а”/2, то черепаха уползет вперед на “а”/4. Когда Ахиллес пробежит “а”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “а”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».

Зенон считает, что в реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.

Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию.

Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.

Герман Вейль в начале XX века дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,...,n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “а”/2ⁿ) с неограниченно убывающим временным интервалом t_n =1/2ⁿ. В реальности, сумма таких интервалов существует и равна 2 ед. времени, поэтому через эти две единицы времени Ахиллес догонит черепаху.

Мы видим, что в апории Зенона «Ахиллес и черепаха» отсутствует изоморфизм мыслимой и реальной структур, по нашей классификации нарушено соответствие первого типа. Изоморфизм нарушен там, где Зенон неверно оценил сумму временных интервалов.

8.7 Парадокс пустого множества.

Рассмотрим высказывание Т{всё, что я скажу, ложь}. Первый вопрос, который у нас возникает истинно это утверждение или ложно?

По своему смыслу это высказывание ложно, так как заявлено, что любое моё высказывание – ложь. С другой стороны истина в том, что я только лгу, поэтому это высказывание истинно. Таким образом, Т не является ни истинным, ни ложным. В чем суть противоречия?

Рассмотрим утверждение “Т” как аксиому и будем считать, что есть некоторая мыслимая структура и теория этой структуры, построенные на основе этой аксиомы. Рассмотрим существование реализации R(T) мыслимой теории построенной по этой аксиоме Т. Реализация есть пустое множество, поскольку не существует языка, в котором все утверждения лживы. Если бы реализация такого языка нашлась, то в этой реализации мы имели бы некоторое свойство и его отрицание одновременно, что противоречит понятию реализации как совокупности конкретных свойств. Поэтому не существует изоморфизма мыслимой модели Т ни на какую реализацию R(T). Следовательно, согласно определению смысла текстового объекта в выводе п.8.1, заключаем, что утверждение Т{всё, что я скажу, ложь} является бессмысленным.

Вывод. Утверждение такого типа, когда мыслимые теории не имеют реальных моделей, можно называть бессмысленным, а парадоксы – противоречия, возникающие в таких теориях, будем называть парадоксами пустого множества.