Замечание 1.

Понятия «модели» и «структуры» часто используются в качестве понятия «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в §§3-5. Это не вступает в противоречие с математическими определениями этих понятий, приведенными в этом §6.

6.4 Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматические теории и математические структуры.

Пусть R(T) - реализация некоторой системы аксиом Т или, что тоже, реализация структуры и теории определяемой этой системой аксиом. Рассмотрим подробнее, что означает эта реализация. Согласно определению реализации, данному в предыдущем П.6.3, реализация R(T) содержит:

1. объекты R_i (Q_i), являющиеся реализациями базовых объектов Q₁…, Q_m и обладающие таким свойством, что существует взаимно-однозначное соответствие R_i r_i(Q_i) между объектами Q_i и объектами R_i, i = 1,2,…,m;

2. отношения p_i(R₁,…, R_m), которые представляют в реализации R(T) отношения P_i(P₁,…,P_m) заданные системой аксиом для соответствующих объектов Q;

3 все утверждения, получаемые логическим следствием в теории данной системы аксиом входят в реализацию R(T) так же в виде некоторых утверждений , выраженных через отношения реализаций базовых объектов.

Рассмотрим пример.

Пусть R² - арифметическая модель евклидовой плоскости, тогда базовое множество М₁ - это все точки M R², реализующиеся в виде упорядоченных числовых пар (x,y). Базовое множество М₂ - это множество всех прямых l R², реализующихся уравнениями вида ax+by+c = 0. Отношение P₁(M,l) (M l) , состоящее в том, точка М принадлежит прямой l, реализуется свойством P₁: пара (x,y) удовлетворяет уравнению ax+by+c = 0, и т.д.

Вывод 1.

Всякая реализация R(T) системы аксиом Т устанавливает взаимно однозначное соответствие R_i r_i(Q_i) между базовыми объектами Q_i и объектами R_i реализаций Q_i в R(T) . При этом отношения P(P₁,…,P_m) заданные в системе аксиом Т реализуются некоторыми отношениями p (R_i,…, R_m) между соответствующими объектами R_i в R(T) .

Вывод 2.

Всякое утверждение в виде отношений объектов в теории Т _, которое получается логическим следствием, выполняется и в реализации R(T) в виде некоторого свойства реализованных объектов. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между утверждениями теории Т _, и выполнением соответствующих им свойств в реализации R(T).

Изначально структуру можно строить безотносительно её реализации.

Определение.

Система аксиом Т, ее аксиоматическая теория Т и аксиоматическая структура определенные вне какой-либо реализации называются абстрактными или формальными системой аксиом, теорий или структурой соответственно.

Если существует реализация R(T) системы аксиом Т, её теории и её структуры, то система Т, её теория Т и структура называются содержательными.

Классическим примером формальной теории является мыслимая геометрия, построенная Н.И. Лобачевским. Эта мыслимая геометрия долгое время не воспринималась однозначно как содержательная аксиоматическая теория, пока не были найдены ее реализации, например, реализация Пуанкаре L₂, построенная нами выше. Таким образом, исторический опыт с геометрией Лобачевского имеет "хороший конец": были найдены реализации этой геометрии, и абстрактное аксиоматическое построение неевклидовой плоскости Лобачевского стало содержательной теорией.

История науки знает немало примеров, когда построенные теории так и не нашли соответствующих реализаций. Это касается не только теорий в математике, физике и других естественных науках, но и теорий экономических и социальных.