8.8 Парадокс конечной достижимости в очереди.

Моделью «очереди» или линейного порядка будем называть всякую реализацию аксиом 1 – 4 из 5 аксиом Пеано структуры натурального ряда, см. п. 1.1 §1. Элемент х будем называть достижимым в «очереди», если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций следования S из первого элемента “1”. Вопрос: всякий ли элемент «очереди» достижим?

В качестве первой модели возьмём модель натурального ряда N = { 1,2,3,…,} в десятичной записи. Для доказательства конечной достижимости всех элементов в этой модели воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано, см. п.1.1. § 1. Пусть М - множество всех достижимых элементов. Это множество удовлетворяет свойствам 1-4 аксиоматики Пеано: 1М, S(1) М; если xМ, то S(х)М и так далее. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.

В качестве второй модели «очереди» возьмём модель Торальфа Сколема . Эта модель представляет линейную цепочку вида: ( п.1.1. § 1)

Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а_-2, а _-1, а₀, а₁, а₂, ... ; ... ,

Первые четыре аксиомы аксиоматики Пеано, формирующие структуру «очереди», для этой цепочки выполняются. В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид:

..., а_-2, а _-1, а₀, а₁, а₂, ...

и содержат недостижимые элементы. Получили парадокс: в одной модели линейного порядка N все элементы достижимы, в другой модели линейного порядка – Т оказались недостижимые элементы.

Мы получили некоторое противоречие, которое состоит в том, что на вопрос достижимы (или не достижимы) все элементы «очереди» нет однозначного ответа: в одной модели есть, в другой модели нет этой достижимости.

Покажем, что свойство достижимости, назовем его аксиомой Д, не зависит от первых четырёх аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории аксиоматики состоящей только из первых четырёх аксиом.. Пусть П= П₁, ... ,П₄ - аксиоматика структуры линейного порядка, см. п.1.1, §1.

Модель Сколема Т реализует систему Аксиом П и отрицание аксиомы достижимости: Т=R₁П,Д. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и аксиому достижимости: N=R₂(П, Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом, п.7.3., §7, заключаем, что аксиома Д не зависит от системы четырёх аксиом линейного порядка П.

Вывод 1. В теории структуры линейного порядка определяемого первыми четырьмя аксиомами аксиоматики Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.

Вывод 2. Парадокс конечной достижимости в структуре линейного порядка есть следствие существования неизоморфных моделей этой структуры.

8.9 Противоречивость в дедуктивных схемах

Можно ли в процессе дискуссии основываясь на одних и тех же фактах придти к противоречащим друг – другу выводам? Рассмотрим следующий пример.

Пример .

Из 15 аксиом планиметрии Евклида Е² и 15 аксиом планиметрии Лобачевского L₂ удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 аксиом составляют аксиоматику абсолютной планиметрии.

Напомним, что теория абсолютной планиметрии не категорична, т.к. существуют две её неизоморфные реализации: L₂ не изоморфна R². Эта теория дедуктивно не полна, т.к. аксиома параллельности не выводима из остальных аксиом. Начнём строить умозаключения в этой теории и посмотрим, к чему это может привести.

Три признака равенства треугольников справедливы в абсолютной планиметрии, так как при их доказательстве не используется свойство параллельности. Следовательно, как в реализации L_{2 ,} так и в реализации Е² эти три признака равенства треугольников справедливы. Но если мы начнём строить логические следствия основанные на свойствах параллельных прямых, то обнаружим взаимно- исключающие факты. Например, в плоскости L_2, см. §5, мы “видим” два равных треугольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого “увидеть” в плоскости R² мы не можем, в том же §5 есть и другие «неевклидовы » эффекты в плоскости Лобачевского L_{2 .}

Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии , реализованная в неизоморфных моделях имеет противоречивые, взаимно-исключающие “визуальные” эффекты. Почему это возможно? Дело в том, что неизоморфные модели в нашем случае содержат такие отношения, которые связаны с реализацией неучтённых нами аксиом параллельности в этих реализациях, а эти аксиомы имеют противоположное толкование.

Вывод 1. Дискуссии, основанные на дедуктивно не полных и не категоричных системах аксиом, могут привести к взаимоисключающим выводам по причине того, что неизоморфные реализации могут содержать неучтённые аксиомы, имеющие в неизоморфных реализациях взаимно-исключающее толкование.

Вывод 2. Дедуктивная схема построения теории может не дать однозначного вывода, если не известны все базовые аксиомы теории.