6.5 Изоморфизм.

В следующем параграфе мы покажем, как используются реализации для исследования свойств аксиоматических систем и теорий. Для этого нам потребуется ещё одно понятие - изоморфизм моделей аксиоматических структур.

Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R^'(T). Тогда, согласно выводу 1, п.6.4, между реализациями R_i и R^'_i базовых объектов Q_i устанавливается взаимно-однозначное соответствие:

R_i ˂= Q_i ˂= R^'_i (6.2)

Это соответствие является отношением эквивалентности. Что можно сказать о соответствии между реализациями отношений Р_i в R_i и реализациями этих же отношений P^'_i в R^'_i ? Рассмотрим два примера.

Пример 1.

Пусть система аксиом Т состоит из 14 аксиом аксиоматики Гильберта, определяющих абсолютную геометрию плоскости (геометрию без аксиомы параллельности). Мы имеем две реализации этой планиметрии:

1. - арифметическая модель R² (евклидовой плоскости);

(2) - модель Пуанкаре L₂ (плоскости Лобачевского). Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками М R² и точками N L₂, а также установить некоторое соответствие между прямыми l R² и прямыми a L₂. В то же время не всем отношениям между точками и прямыми в модели L₂ можно найти соответствующие отношения в модели R². Например, отношение P(a₁, a₂, a₃,) прямые a_1, a₂ и a₃ не пересекаются в конечной части плоскости может так выполняться в L_2, что не иметь аналога в R², (см. Рис.5.4 (а), §5).

Пример 2.

Пусть ² - геометрическая модель направленных отрезков (выполненная, например, карандашом на бумаге или реализованная на пиксельном экране компьютера). Пусть Е²- арифметическая модель векторного пространства. Операция откладывания вектора, указанная в модели Вейля, п.4.1, §4, устанавливает взаимно-однозначное отображение : (x,y) модели ² на модель Е² (x,y). При этом, отображение сохраняет все определенные в векторной структуре отношения реализующимися между соответствующими векторами и ( )=(x,y).

Определение изоморфизма.

Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:

1.Существует взаимно-однозначное соответствие (6.2) между реализациями R_i(Q_i) и R^'_i(Q_i) базовых объектов Q_i, i=1,2,…, m;

2. Отображение (6.2) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми отношениями p^'_i( R^'₁,…,R^'_m) и p_i(R₁,…, R_m), представляющими в моделях R^' и R^' определённые отношения P_i(Q₁,…, Q_m).

Само отображение (6.2), при этом называется изоморфизмом моделей или изоморфизмом реализацией R(T) и R^'(T), а также изоморфизмом аксиоматических структур T;P;R и T;P^';R^' .

Другими словами, изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет все отношения элементов в этих моделях.

В примере 1, приведенном выше модели R² и L₂ не изоморфны. В примере 2 модели ² и E² изоморфны.

6.6 Вопросы и задания к теме «Математические структуры и аксиоматические теории».

Вопросы.

1. Приведите примеры отношений между базовыми объектами в геометрии.

2. Приведите примеры отношений эквивалентности.

3. Дайте определение математической структуры и приведите примеры.

4. Дайте определение реализации системы аксиом, структур.

5. Дайте определение изоморфизма структур.

Задания.

1. Перечислите базовые объекты и их отношения в числовых системах натурального ряда, рациональных чисел, действительных чисел.

2. Приведите примеры изоморфных структур, изоморфных реализаций аксиоматических систем.

3. Покажите, что модели плоскости Евклида и плоскости Лобачевского не изоморфны.

4. Постройте пример аксиоматической теории не имеющий реализаций.

5. Можно ли считать всякое свойство реализации структуры истинным утверждением теории этой структуры?