7.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.

Исключительная роль V постулата "Начал" Евклида в развитии оснований математики состоит в том, что в течение почти двух тысяч лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Сложившуюся иллюзию у математиков по поводу возможности доказать этот постулат мы обсудили в п. 2.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» Евклида.

Около 1826 года Н. И. Лобачевским была впервые осознана независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом геометрии. Этот факт явился первым важным историческим шагом на начальном этапе развитии современной теории оснований математики. Осознать этот факт Лобачевский сумел благодаря тому, что к построению непротиворечивой геометрической теории он пришёл, основываясь на утверждении противном тому, что требовалось доказать. А именно, Лобачевский предположил, что аксиома параллельности, формулируемая в евклидовой геометрии не верна. Он сформулировал свою аксиому параллельности, предположив, что параллельных к заданной прямой линии, по крайней мере, две содержащих заданную точку не лежащую на этой прямой и стал строить в этих предположениях геометрию надеясь получить противоречие. Но вместо противоречия он получил совершенно новую мыслимую геометрию, в которой противоречий не было, но открывались удивительные факты.

Следующий важный шаг состоял в том, что математическим миром была принята "мыслимая" неевклидова геометрии и началось исследование отношений между аксиоматической геометрической теорией и ее моделью. Этот шаг был проделан трудами А. Пуанкаре, Ф. Клейна (1842- 1925г.г.), К. Ф. Гаусса и др. математиков ХIХ века.

Эти геометрические исследования второй половины ХIХ века послужили мощным импульсом пересмотра аксиоматических начал всей математики.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843-1918) предпринял попытку аксиоматического построения теории множеств, правда, не выдвигая ни каких требований к аксиоматическим теориям. Исследование противоречий языкового характера, с которыми столкнулись математики в его «наивной теории множеств» привели, наконец, к современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. И, в конце концов, в 1899 г. появляется практически современная геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу современного метода построения математических теорий по аксиоматической схеме и в последствии легла в основу формирования математических структур о которых мы говорим в этой главе.

7.6 Вопросы и задания к теме «Требования, предъявляемые к системе аксиом»

Вопросы

1. Сформулировать понятие непротиворечивости системы аксиом и достаточное условие этой непротиворечивости.

2. Сформулировать понятие независимости некоторой аксиомы от остальных аксиом и достаточное условие этой независимости.

3. Дать определение дедуктивной полноты системы аксиом и привести примеры дедуктивно полной и неполной аксиоматик в геометрии.

4. Какова историческая роль пятого постулата Евклида о параллельных прямых?

Задания

1.Как проверить независимость аксиом геометрии в аксиоматике Д.Гильберта?

2. Показать, что аксиомы параллельности в форме Евклида и в форме Лобачевского не зависит от остальных аксиом.

3. Показать, что аксиоматика векторного пространства дедуктивно полна. Указание: использовать тот факт, что все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны арифметической модели векторного пространства той же размерности и воспользоваться критерием категоричности приобосновании дедуктивной полноты.

4. Показать, что существуют неизоморфные модели аксиоматической теории примера 1 п. 7.5.