Следствие 2. Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.

Аналогично, двухместным отношениям, определяются n–местные отношения между элементами x A ,…,x A некоторых n множеств A , …, A .

Декартово произведение A A …A есть множество упорядоченных наборов (x ,x ,…,x ) элементов x A ,…,x A , а n–местное отношение P(x ,…,x ) представляется некоторым подмножеством p A A …A по следующему закону

{ P(x ,x ,…,x ) выполняется}  (x ,x ,…,x )p A A …A

6.2 Понятие математической структуры.

Все рассмотренные в главе I системы аксиом:

Аксиоматика Пеано для натуральных чисел;

Аксиоматика рациональных чисел;

Аксиоматика действительных чисел;

Аксиоматика векторных пространств

Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии;

Аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства

Аксиоматика плоскости Лобачевского

можно характеризовать как системы утверждений T={T₁, …,T_n}, задающих множество отношений P={P₁ , …, P_m} между элементами некоторых объектов Q ={ Q₁, …, }

Например, 20 аксиом Гильберта T={T₁, T₂ …,T₂₀} описывают отношения:

- P₁ инцидентности,

-P₂ порядка

- P₃ конгруэнтности,

-P₄ отношения, определяющие свойства непрерывности,

-P₅ отношение параллельности.

Каждое из этих отношений определено на объектах из следующих множеств: M₁ - множества точек, M₂ - множества прямых, M₃ - множества плоскостей, M₄ - множества отрезков, M₅ - множества углов, M₆ - множества натуральных чисел. При этом, множества объектов M₁, M₂, M₃ остаются основными, а множества M₄, M₅, M₆ - дополнительно построенными- вспомогательными.

Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия: T={T₁, …,T_n} - собственно систему аксиом (систему утверждений), P ={ P₁ , …, P_m} - систему отношений и {Q₁, …, Q_s}=Q – систему множеств базовых объектов. Эти понятия вступают в новое отношение, называемое математической структурой.

Определение. Математической структурой называется заданная система отношений P={ P₁ , …, P_m} на базовых объектах Q={ Q₁,…, Q_m } и действующая посредством системы аксиом T={T₁,…,T_n}.

Таким способом определенную математическую структуру будем обозначать

= {Q,P,T}.

Примеры.

Указанные в начале пункта аксиоматики задают, соответственно, структуры: натуральных чисел, действительных чисел, векторных пространств, структуру геометрического евклидова пространства и структуру арифметического евклидова пространства, структуру неевклидовой плоскости Лобачевского.

Числовые структуры принято также называть аксиоматическими системами.

Определение теории структуры.

Множество всех утверждений, полученных в виде логических следствий в структуре , называется аксиоматической теорией этой структуры. Аксиоматическую теорию структуры будем обозначать символом .

Пример.

Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника является элементом теории структуры абсолютной планиметрии (геометрии плоскости, построенной в системе 14 аксиом планиметрии без аксиом параллельности).

6.3 Модель или реализация системы аксиом.

Модель системы аксиом T представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T, [9, стр. 117-118].

Понятие модели в математике принято отождествлять с понятием реализация.

Модель или реализация системы аксиом T называется также моделью или реализацией аксиоматической теории , и структуры . Эту реализацию будем обозначать R(T)=R(T , …,T ).

Приведем примеры реализаций.

Модель Торальфа Сколема, см. п. 1.1, §1, является моделью или реализацией линейного порядка или, проще говоря, очереди, в которой каждый знает за кем стоит, кто за ним стоит, известен первый член очереди, но никто не знает какой он по счёту в этой очереди.

Известная Римская система знаков I, II, III, …, IX, X, XI, … является моделью или реализацией системы натуральных чисел.

Множество действительных чисел является арифметической реализацией евклидовой прямой.

Арифметическая модель векторного пространства , (см. п. 3.2, §3), является реализацией системы аксиом векторного пространства размерности три.

Арифметическая модель евклидова пространства , см. п. 4.1, §4, является реализацией, как системы аксиом Гильберта, так и системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.

Множество n–местных наборов чисел (x ,…,x ) является реализацией n-мерного арифметического евклидова пространства , см. п. 4.2, §4.

Модель Пуанкаре L является реализацией планиметрии Лобачевского.