Задача 2.

Измерить длину окружности, считая, что диаметр этой окружности есть единица длины.

Длина окружности L = 2R, где R – радиус. В нашем случае L=3,1415… . Число  не является рациональным. То, что число  не является рациональным числом, впервые было установлено в 1761 г. французским математиком Иоганном Генрихом Ламбертом (1728 – 1777).

Вывод 2.

Существуют числа, не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q.

Эти числа не являются результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами, в противном случае можно было бы указать процедуру их вычислений за конечное число шагов.

Числа, не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q, называются иррациональными.

Вывод 3. К понятию иррациональных чисел мы пришли в результате задач обычного измерения отрезков. А именно, мы решили результату измерения отрезка сопоставить определённое число. Оказалось, что множества рациональных чисел, вполне достаточного для реализации арифметических операций, выполняемых над заданным единичным отрезком, недостаточно для того, чтобы представить результат измерения произвольного отрезка.

Геометрически данная ситуация изображается на рисунках 1.1 и 1.2.

Рис.1.1 Рис.1.2

На рис.1 на оси ОХ согласно решению задачи 1 отложен отрезок равный диагонали квадрата с единичной стороной, конец этого отрезка отмечен символом . На рис.2 на оси ОХ согласно задаче 2 отложен отрезок равный длине окружности с единичным диаметром. Конец этого отрезка отмечен символом . Эта точка является образом точки О: если окружность прокатить вправо один раз по оси ОХ, то точка О совместится с точкой .

Таким образом, обычные задачи измерения отрезков потребовали расширить понятия рациональных чисел до понятия иррациональных чисел.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.

Нерациональные числа появляются и при решении алгебраических задач. Заметим, что величина является решением уравнения x²2=0. Действительные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений

xⁿ + a₁x^n-1 + … +a_n-1x + a = 0 (1.9)

с целочисленными коэффициентами a_iZ, k=1,…,n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число является алгебраическим числом и является результатом алгебраической операции – извлечения корня.

Фактически мы установили, что вычисление алгебраического числа требует привлечения чисел, не являющихся рациональными. Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал, что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p/q ни для каких целых p, q  Z.

5. Аксиоматическое построение множества действительных чисел.

Конструктивное построение множества действительных чисел можно представить в виде схемы 1.3.

С хема 1.3.

Непрерывными операциями мы называем вычислительные алгоритмы, состоящие из арифметических и других простых операций (например, геометрических), пронумерованных натуральным рядом. Таким образом, для реализации непрерывной операции может потребоваться выполнение бесконечного множества арифметических операций. Описание непрерывных операций потребует разработки вспомогательных понятий. Избежать такой дополнительной работы можно аксиоматическим заданием множества действительных чисел. Поскольку рациональные числа являются подмножеством действительных чисел, то при расширении системы рациональных чисел мы сохраняем аксиомы рациональных чисел и добавляем утверждения (аксиомы), которые позволят нам решать задачи измерения любых отрезков.

Добавим к 15 аксиомам, определяющим в П. З. множество рациональных чисел Q следующую аксиому.