3. Отрицание суждений.

Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг другу, если одно из них утверждает то, что отрицает другое, и наоборот. Из этих суждений одно всегда будет, согласно закону исключенного третьего, истинное, а другое ложно. Так, противоречат друг другу суждения вида «Все S есть Р» (например, «Все птицы кладут яйца») и «Некоторые S не есть Р» (в данном случае, «Некоторые птицы не кладут яиц»), а также вида «Ни одно S не есть Р» («Ни один студент нашей группы не был в Америке») и «Некоторые S есть Р» («Некоторые студенты нашей группы были в Америке»).

В логике выделяются два типа отрицаний – внутреннее и внешнее.

Внутреннее отрицание – это отрицание, фиксирующее несоответствие предиката субъекту. Это простые суждения, в которых используется связка «не есть», «не является» или «не», например: «Некоторые студенты нашей группы не являются успевающими», «Ростов Великий не находится в Южном Федеральном округе».

Внешнее отрицание – это отрицание всего суждения и образование нового суждения. Здесь обычно используется слово «неверно», которое ставится перед суждением: «Неверно, что все студенты нашей группы – успевающие», «Неверно, что Ростов Великий находится в Южном Федеральном округе».

Внешнему отрицанию подлежат не только простые суждения, но и сложные. Конъюнктивные и дизъюнктивные суждения отрицаются по формулам, известным в логике как законы де Моргана (Огастес де Морган, шотландский математик и логик XIX века).

4. Модальность суждений.

В ранее рассмотренных нами суждениях только констатировалось наличие или отсутствие связей между предметами и их свойствами. В этих суждениях не устанавливался характер связи между субъектом и предикатом (если речь шла о простых суждениях, как «Волга – самая длинная река Европы) и не устанавливался характер связи между простыми суждениями (если речь шла о сложном суждении типа «Если я получу отпуск летом, то поеду в Сочи»).

Характер связи между субъектом и предикатом, а также между простыми суждениями в суждении сложном раскрывается через особые модальные слова («модальные операторы»):

«Доказано, что Волга – самая длинная река Европы»;

«Хорошо, что летом тепло, а зимой – холодно»;

«Возможно, что к 2020 году в Ростове появится метро»;

«Несомненно, что если я получу отпуск летом, то поеду в Сочи» и т. д.

Суждения, в которых не используются модальные операторы, называются в формальной логике ассерторическими. Суждения же, образованные из ассерторических путем добавления модальных операторов, называются модальными.

Модальные суждения, подобно ассерторическим, могут быть как простыми, так и сложными. Простые модальные суждения выражаются формулами М (S есть Р) и М (S не есть Р), а сложные формулами М (А→В), М (А۷В) и т. п.

Существует большое число типов связи между субъектом и предикатом и между простыми суждениями, соответственно, существует и большое число различных модальностей. Для их изучения в формальной логике возник даже особый раздел – модальная логика. К числу основных модальностей относятся алетические, эпистемические и деонтические.

Алетическая модальность выражается в терминах «необходимо», «случайно», «возможно», «невозможно». Соответственно, выделяется 4 вида алетических модальностей:

а) Суждение необходимости: «Необходимо, что S есть (не есть) Р» (формулы ٱр и ٱ¬р): «С необходимостью за ночью следует день, а за днем – ночь», «Необходимо, что одно и то же суждение не является одновременно истинным и ложным»;

б) Суждение случайности: «Случайно, что S есть (не есть) Р» (формулы ¬ٱр и: ¬ٱ¬р): «Случайно, что мы с вами сегодня встретились», «Случайно, что вчера я не застал Вас дома»;

в) Суждение возможности (вероятности): «Возможно (вероятно, не исключено, допускается), что S есть (не есть) Р» (формулы ◊р и ◊¬р): «Возможно, что на Марсе есть жизнь», «Не исключено, что снежный человек существует»;

г) Суждение невозможности: «Невозможно (не допускается, исключено), что S есть (не есть) Р» (формулы ¬◊р и ¬◊¬р): «Невозможно, чтобы человек существовал в бескислородной атмосфере», «Исключено, чтобы дважды два было равно трем или пяти».

Все алетические модальности, в свою очередь, подразделяются на два вида – логические и физические (фактические).

Логически необходимыми являются суждения о законах логики, математики и других дедуктивных наук (например, теоретической механики), а также все следствия из этих законов.

Логически возможными являются все суждения, которые не противоречат этим законам.

Логически невозможными являются все суждения, которые находятся в противоречии с этими законами.

Физически необходимыми являются суждения о законах естественных наук (физики, химии, биологии, астрономии), а также все следствия из этих законов.

Физически возможными являются все суждения, которые не противоречат данным законам.

Физически невозможными являются те суждения, которые противоречат законам естественных наук.

Между логическими и физическими модальностями существуют следующие зависимости:

1. То, что необходимо физически, не всегда необходимо логически. Но все, что необходимо логически, обязательно будет необходимо также и физически.

2. То, что логически возможно, не обязательно возможно физически. Но если нечто возможно физически, то оно будет возможно и логически.

Эпистемическая модальность – это модальность, выражающая степень обоснованности суждения. Существует два основных класса эпистемических суждений – достоверные и проблематичные (вероятные).

Достоверными считаются достаточно обоснованные истинные и ложные суждения. Достоверные суждения существуют в двух основных формах – доказуемые и опровержимые.

Доказуемыми (верифицируемыми) являются суждения, в которых использованы слова «доказано», «установлено», «определено», «выяснено» и т. п.: «Доказано, что Земля имеет форму шара», «Установлено, что Сидоров принимал участие в ограблении банка». С помощью модального оператора они записываются так: Vр – «доказано, что р» и V¬р – «доказано, что не-р».

Опровержимыми (фальсифицируемыми) являются суждения, в которых используются слова «опровергнуто», «неверно», «исключено» и т. п.: «Опровергнуто, что атом является неделимой частицей», «Исключено, что Петренко был на месте преступления». С помощью соответствующего оператора опровержимые суждения выражаются так: Fp – «опровергнуто, что р» и F¬р – «опровергнуто, что не-р».

Модальности доказуемости и опровержимости могут быть легко выражены друг через друга:

Vр ≡ F¬р («р доказано тогда и только тогда, когда опровергнуто, что не-р»)

и Fp ≡ V¬р («р опровергнуто тогда и только тогда, когда доказано, что не-р».

Проблематичными (вероятными) являются суждения, в которых используется оператор «вероятно» или его синонимы («не исключено», «можно предположить» и др.): «Вероятно, нынешнее лето будет жарким», «Есть основания предполагать, что П. склонен к шизофрении». С помощью оператора проблематичные суждения выражаются так: Рр – «вероятно, что р» и Р¬р – «вероятно, что не-р».

Для проблематичных суждений не существует такой разрешающей процедуры, с помощью которой можно было бы логически, без обращения к фактам доказать или опровергнуть их истинность (ложность). Поэтому их еще называют логически непроверяемыми.

Проблематичные суждения могут быть выражены с помощью оператора доказанности и оператора опровергнутости:

Рр ≡ ¬ Vр ۸ ¬Fp (т. е. «р вероятно тогда и только тогда, когда оно не доказано и не опровергнуто»).

Деонтическая модальность – это модальность, выражающая предписание в форме совета, пожелания, приказа, правила поведения. Модальности такого рода более других используются в праве, юридических рассуждениях и кодексах. В деонтических суждениях так или иначе идет речь о действиях, поступках людей.

Среди модальных операторов выделяются три – обязывание, запрещение и разрешение.

Модальность обязывания выражается в словах «обязан», «должен», «надлежит», «признается» и т. п.: «Обязательно требуйте предъявления документов у человека, называющего себя сотрудником полиции», «Каждый должен охранять природу и окружающую среду, бережно относиться к природным богатствам». Формулы суждения обязывания выглядят так: О(d) – «обязательно действие d» и О(¬d) – «обязательно отсутствие действия d».

Модальность запрещения выражается словами «запрещено», «не допускается», «не вправе»: «Запрещено переходить улицу на красный свет», «Никто не может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление». Вот как выражается модальность эта модальность: F(d) – «запрещено действие d» и F(¬d) – «запрещено отсутствие действия d».

Модальность разрешения выражается словами «разрешено», «имеет право», «может иметь» и т. д.: «Границы между субъектами Российской Федерации могут быть изменены с их взаимного согласия», «Поэтом можешь ты не быть». В виде формул это будет выглядеть так: Р(d) – «разрешено действие d» и Р(¬d) – «разрешено отсутствие действия d».

Логические отношения между деонтическими модальностями выражаются формулами: О(d) ≡ F(¬d); F(d) ≡ О(¬d); Р(d) ≡¬ О(d) ٨ ¬ F(d)