Раскрытие некоторых видов неопределенностей.
Вычисление предела в каждом конкретном случае требует индивидуального подхода. Решение одних примеров сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно малых, а в других необходимо избавиться от неопределенностей вида:
и др.
Рассмотрим решение нескольких примеров.
Пример №1.
Вычислить:
.
Решение.
Числитель
и знаменатель дроби при
стремится к нулю (принято говорить, что
получается неопределенность вида
).
Эту неопределенность создает множитель
,
называемый критическим. Необходимо от
него избавиться путем алгебраических
преобразований, т.е.:
;
т.е.
.
Пример №2.
.
Решение.
Неопределенность типа . Домножим числитель дроби на сопряженное к нему выражение и разделим, чтобы дробь не изменилась. Имеем:
Пример №3.
Вычислить:
.
Решение.
Используем
замену переменной. Пусть
,
тогда
и если
,
то
,
т.е.
.
Пример перепишем в виде:
;
Пример №4.
Вычислить:
.
Решение.
Вычислим,
используя первый замечательный предел.
Пусть
,
тогда
.
Если
,
то
.
Используя эту замену имеем:
.
Пример №5.
Вычислить:
.
Решение.
Используя тригонометрическое преобразование имеем:
.
Пример №6.
Вычислить:
(неопределенность
).
Решение.
Неопределенность
раскрывается теми же методами, что и
неопределенность
.
При достаточно больших
величина числителя определяется главным
образом членом
,
а роль остальных слагаемых тем
незначительней, чем больше
.
В знаменателе при росте
доминирующее значение приобретает
слагаемое
.
Поэтому присутствие членов, содержащих
,
является причиной возникновения
неопределенности
.
Если в числителе и знаменателе вынести
множитель
за скобки и сократить на него, то
неопределенность исчезнет:
,
(т.к.
есть бесконечно малые при
).
Замечание.
Проведенные преобразования фактически
сводятся к делению числителя и знаменателя
дроби на старшую степень
.
К этому же примеру можно отнести замену
переменной
,
при
,
.
Пример №7.
Вычислить:
(неопределенность
).
Решение.
Используя тригонометрические преобразования, имеем:
.
Пример №8.
Вычислить:
(неопределенность
).
Решение.
Для
решения используем второй замечательный
предел
.
Имеем:
Пример №9.
Вычислить:
(неопределенность
).
Решение.
V. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Понятие производной, свойства.
Пусть
задана на интервале
.
Возьмем некоторую точку
и дадим ей приращение
так, чтобы
.
Если существует конечный предел
,
то его называют производной функции
в точке
.
Если такой предел существует в каждой точке , то он будучи зависимым от точки называется производной от функции на . Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием функции .
Для обозначения производной в точке используются символы:
.
Свойства.
1. Если
функции
и
дифференцируемы в точке
,
то в точке
дифференцируемы функции
,
,
,
,
и справедливы формулы:
;
;
;
.
2.
Производная сложной функции: если
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
и справедлива формула:
или
.
т.е. производная сложной
функции
равна произведению производной внешней
функции
на производную внутренней функции
.
Замечание.
Правило нахождения производной сложной
функции распространяется на композицию
любого конечного числа функций. Например,
для вычисления производной функции
,
если
,
,
дифференцирует, справедлива формула:
.
Приведем таблицу производных основных элементарных функций:
Функция |
Производная
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим решение примеров:
Пример №1.
.
Решение.
Пользуясь таблицей производных и свойствами производных, имеем:
.
Пример №2.
Найти
производную
Решение.
.
Пример №3.
Найти
производную
.
Решение.
.
Пример №4.
Найти
производную
.
Решение.
Так как функция
является сложной вида
,
где
,
,
то имеем:
.
Пример №5.
Найти производную
.
Решение.
.