7.3. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные)

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коеффициентами имеет вид:

(7.8)

где - некоторые действительные числа, - некоторая функция.

Если , то уравнение

(7.9)

называется однородным; в противном случае при уравнение называется неоднородным.

• Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем его характеристическое уравнение:

.

Находим его корни. При этом, если:

1. Корни вещественные различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

(7.10)

2. Корни вещественные кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

(7.11)

3. Корни комплексные, т.е. , то общее решение имеет вид:

(7.12)

Пример 1.

.

Решение.

Запишем и решаем характеристическое уравнение:

,

, .

Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Пример 2.

Решение.

,

,

- корни кратные, вещественные,

- общее решение.

Пример 3.

.

Решение.

,

,

- корни комплексные,

- общее решение.

• Перейдем к решению линейного неоднородного уравнения.

Это уравнение может быть в частности решено методом вариации произвольных постоянных, который состоит в следующем. Сначала находят общее решение однородного уравнения (7.9), имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение (7.8). Затем решение уравнения находится в виде , т.е. предполагается, что постоянные и являются функциями независимой переменной . При этом функции и могут быть найдены как решения системы:

(7.13)

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Решая соответсвующее однородное уравнение . Находим: .

Полагая теперь, что и - функции переменной , найдем производные этих функций, решаем систему:

.

Найдем . Полученные дифференциальные уравнения – с разделяющимися переменными. Решая эти уравнения, получаем - некоторые постоянные. Таим образом, окончательно решение уравнения имеет вид:

.

Обратим внимание на структуру полученного решения. Первые два слагаемых – это общее решение однородного уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению. Последнее слагаемое, как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, - частое решение исходного уравнения. Аналогичное утверждение справедливо и в общем случае, т.е. справедлива теорема.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (7.8) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (7.9) и частного решения исходного неоднородного уравнения (7.8).

Следует отметить, метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев целесообразно использовать другие методы решения, основанные на приведенной выше теореме.

Сначала, как и при методе вариации произвольных постоянных, находится общее решение однородного дифференциального уравнения (7.9), а затем отыскивается частное решения неоднородного уравнения (7.8). При этом вид частного решение устанавливается по виду правой части уравнения (7.8) и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

При этом:

1. Если , то частное решение уравнения (7.8) может быть найдено в виде: , где - некоторый многочлен той же степени, что и с неопределнными коэффициентами - число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.

2. Если , где и - многочлены степени и , то частное решение уравнения (7.8) может быть найдено в виде:

,

где и - многочлены степени не выше , где – большая из степеней и , а число - показывает сколько раз является корнем характеристического уравнения.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Рассмотрим уранение: .

- соответствующее однородное уравнение,

- характеристическое уравнение,

.

.

Для определения вида частного решения неоднородного уравнения заметим, что его правая часть имеет вид: , где . Так как число 0 не является характеристическим числом, то частное решение следует искать в виде полинома второй степени.

,

где - неопределенные коэффициенты.

Для определения их подставим в исходное уравнение и приравняем сумму правых частей полученных равентсв правой части исходного уравнения. Будем иметь:

.

2. Найти общее решение уравнения: .

- соответствующее однородное уравнение,

- характеристическое уравнение,

,

.

Найдем частное решение исходного уравнения. Его правая часть есть полином, т.е. . Число 0 - является корнем характеристического уравнения. Так как этот корень простой, то частное решение следует искать в виде:

.

Далее, как в примере 1, находим: , , .

- следовательно, общим решением уравнения будет:

.