2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Свойства скалярного произведения

1. – коммутативное свойство.

2. – дистрибутивное свойство.

3. .

4. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны.

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Если векторы заданы своими координатами: тогда скалярное произведение векторов находим по формуле:

, (2.1)

а угол между векторами и определяется по формуле:

, (2.2)

и проекция одного вектора на другой определяется по формуле:

. (2.3)

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. вектор перпендикулярен векторам и .

2. вектор направлен таким образом, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

3. длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:

. (2.4)

Обозначение векторного произведения: .

Свойства векторного произведения

1. .

2. .

3. .

Векторное произведение суммы двух ненулевых векторов равно нулю, только в том случае, когда эти векторы коллинеарны.

Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Если векторы заданы своими координатами: то векторное произведение может быть найдено путем разложения определителя по элементам первой строки, т.е.:

(2.5)

Смешанным произведением трех векторов , и называется их векторно-скалярное произведение:

(2.6)

Если некомпланарные векторы , и приведены к общему началу, то модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов :

. (2.7)

Пример №1.

Даны векторы . Найти:

а) векторы и ;

б) длины векторов и ;

в) скалярный квадрат вектора ;

г) скалярное произведение векторов ;

д) угол между векторами и .

Решение.

а) По определению , ;

б) По формуле найдем длины векторов и :

;

.

в) По формуле – скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

.

г) По формуле

.

д) По формуле угол между векторами и определяется равенством:

,

откуда .

Пример №2.

Найти синус угла между векторами: и .

Решение.

Из формулы получим, что

Находим .

откуда .

Пример №3.

Найти проекцию вектора на вектор .

Решение.

По формуле (2.3) имеем:

.

Пример №4.

Проверить, будут ли три данных вектора , и компланарны.

Решение:

Для этого достаточно проверить, выполняется ли условие компланарности векторов:

.

Проверим:

Значит, векторы - компланарны.