10. Уравнение прямой в отрезках на осях. Задача.

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс отрезок величины , а на оси ординат – отрезок величины .

Решение.

Пусть данная прямая отсекает на оси абсцисс отрезок , а на оси ординат отрезок . Тогда координаты точки будут , а координаты точки будут (рис. 7).

Рис. 7

Составим уравнение данной прямой, как прямой, проходящей через две точки и . Подставляя координаты точек и в уравнение (3.9), получим:

или .

. (3.13)

Уравнение (3.13) называется уравнением прямой в отрезках на осях. В этом уравнении и – текущие координаты, и – параметры.

Замечание. Это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой откладывая на оси абсцисс отрезок, равный по величине , на оси ординат отрезок, равный по величине , и соединяя концы этих отрезков, получим искомую прямую.

3.4. Важнейшие кривые второго порядка

1. Эллипс.

Эллипсом (рис8) называется множество точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

Рис. 8

Каноническое уравнение эллипса, изображенного на рисунке 8, имеет вид:

, (3.14)

где .

Вершинами эллипса называются точки и , и пересечения эллипса с его осями симметрии (осями координат) отрезки и , длины которых соответственно равны и , называются большой и малой осями соответственно. Параметры и равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большей оси, т.е. . Очевидно, что .

Окружность – частный случай эллипса, при условии, что полуоси эллипса и равны между собой . Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:

. (3.15)

Общее уравнение окружности имеет вид:

. (3.16)

Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, нужно с помощью тождественных преобразований уравнения (3.16) привести к виду (3.15)

2. Гипербола.

Гиперболой (рис.9) называется множество точек, абсолютная величина разности расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Рис. 9 (а)

Рис. 9 (б)

Каноническое уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9(а) имеет вид:

. (3.17)

где .

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс), она пересекается в двух точках и , называется вершинами гиперболы.

Отрезок – длиной называется действительной осью гиперболы, а отрезок длиной – мнимой осью. Параметры и равны полуосям гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси, т.е. . Очевидно, что .

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых: .

Если мнимая ось гиперболы направлена по оси и имеет длину , действительная ось длиной направлена по оси , в соответствии с рисунком 9(б), то уравнение гиперболы имеет вид:

.

Эксцентриситет этой гиперболы . Ее асимптоты те же, что и у гиперболы на рисунке 9(а). Гиперболы, изображенные на рисунке 9, называются сопряженными. Если , то гипербола называется равносторонней.

Если оси координат совпадают с асимптотами равносторонней гиперболы рис. (9в), то ее уравнение в этой системе координат имеет вид:

. (3.18)

Рис. 9 (в)

Переменные величины и , связанные зависимостью (3.18), где – постоянное число, называются обратно пропорциональными.

3. Парабола. Парабола или .

Рис. 10 (а)

Рис. 10 (б)

Параболой называется множество точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой параболы.

Каноническое уравнение параболы, изображенной на рисунке 10:

а) ;

б) .

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется ее осью , а точка пересечения параболы с ее осью – вершиной параболы.

Пример №1.

Составить уравнение эллипса, зная, что он проходит через точки и .

Решение.

Возьмем каноническое уравнение эллипса и вместо текущих координат подставим сначала координаты точки , а затем координаты точки . Из получившейся системы уравнений:

определим параметры эллипса и .

Обозначив ; сведем данную систему к следующей системе:

,

решая ее, плучим, что , откуда .

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:

.

Пример №2.

Дано уравнение гиперболы . Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет, составить уравнение директрис и асимптот гиперболы.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние от начала координат до фокуса:

или .

Откуда: .

.

Эксцентриситет .

Действительная ось: .

Мнимая ось: .

Уравнения директрис: .

Уравнения асимптот: .

Пример №3.

Две реки и следует соединить каналом. Река там, где должен проходить канал, имеет вид параболы , река – вид прямой линии . Соединяющий реки канал должен иметь наименьшую длину. Как его нужно проложить?

Решение.

Найдем уравнение касательной к кривой , параллельной прямой , у которой . Тогда ; – уравнение касательной. Определим из системы уравнений:

.

Так как точка касания единственная, то .

.

Уравнение касательной имеет вид: . Следовательно, координаты точки касания удовлетворяют системе уравнений:

.

– точка касания, ближайшая к реке (начало канала) (рис. 11).

0

Рис. 11

Канал должен быть направлен по нормали , уравнение которой:

или .

Из системы .

Находим .

Точка – конец канала.