VII. Дифференциальные уравнения
7.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных.
Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово “обыкновенные” будем опускать).
В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде:
(7.1)
при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.
Решением
дифференциального уравнения (7.1)
называется такая функция
,
которая при подстановке ее в это уравнение
обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (7.1) -го порядка называется такое его решение:
(7.2)
которое является
фукцией переменной
и
произвольных независимых постоянных
.
(Независимость постоянных означает
отсутствие каких-либо соотношений между
ними).
Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач экономики, физики, биологии, экологии и т.п.
7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
(7.3)
или в виде:
(7.4)
где
- некоторые функции переменной
;
- функции переменной
.
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример 1.
Решить уравнение.
Решение.
;
;
;
;
;
;
.
Однородные дифференциальные уравнения.
Диффернциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представленно в виде:
(7.5)
где
- некоторая функция (одной переменной).
Понятие
однородного дифференциального уравнения
связано с однородными функциями. Функция
называется однородной степени
(по переменным
и
),
если для произвольного числа
выполняется равенство:
(7.6)
Однородные
уравнения при помощи подстановки
приводятся к уравнениям с разделяющимися
переменными.
Пример.
Решить
уравнение:
.
Решение.
Так
как
,
то уравнение имеет вид (7.5) при
.
Положим
,
отсюда
и
.
Подставим в преобразованное уравнение:
,
.
Получим уравнение с разделяющимися переменными:
,
.
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем:
,
,
.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получим:
,
откуда
.
Линейные дифференциальные уравнения.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
(7.7)
где
и
- некоторые (непрерывные) функции
переменной
.
В случае, когда функция
тождественно равна нулю, уравнение
называется однородным, в противном
случае – неоднородным.
Рассмотрим
один из возможных способов решения
уравнения: будем искать решение в виде
,
тем самым искомыми становятся функции
и
,
одна из которых может быть выбрана
произвольно, а другая – должна определяться
из уравнения (7.7). Т.е. используется в
решении замена
.
Пример.
Решить
уравнение:
.
Решение.
Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Пусть
,
,
тогда уравнение примет вид:
или
.
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например ) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными.
или
откуда
.
Проинтегрировав,
найдем какое-либо частное решение этого
уравнения, например, при
и
.
При исходное уравнение обратится в уравнение:
или
.
Решая это уравнение
с разделяющимися переменными, получаем
.
Тогда окончательно имеем:
.