4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
В ряде
случаев встречается необходимость
составить уравнение прямой, зная одну
ее точку
и направление, в котором проходит эта
прямая. Так как искомая прямая проходит
через точку
,
то координаты этой точки должны
удовлетворять уравнению
.
Определяя «
»
из этого равенства и подставляя его в
уравнение (3.6), получим искомое уравнение
прямой:
.
(3.7)
5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пусть
даны точки
и
.
Приняв в равенстве (3.7) точку
за
,
получим:
.
Отсюда:
.
(3.8)
Подставив в уравнение (3.7), получим искомое уравнение прямой:
.
Это уравнение, если
,
можно записать в виде:
.
(3.9)
Замечание. При выводе уравнение (3.9) мы получим формулу (3.8) углового коэффициента прямой, проходящей через две данные точки и .
Пример.
Составить
уравнение прямой, проходящей через
точки
и
.
Решение:
Подставляя данные координаты в соотношение (3.9.), получаем:
или
.
Задача.
Издержки производства 100 ед. некоторого товара составляют 300 тыс. грн., а 500 ед. – 600 тыс. грн. Определить издержки производства 400 ед. товара при условии, что функция издержек линейна.
Решение.
Используя
уравнение прямой, проходящей через две
точки
и
,
получаем:
или
.
Подставляя
,
вычисляем издержки производства 400
единиц товара:
(грн.)
Общее уравнение прямой
Теорема. |
В прямоугольных координатах всякая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение |
(3.10)
определяет прямую линию.
Доказательство.
Первое утверждение теоремы мы уже
доказали в п.3. Если прямая не перпендикулярна
,
то она определяется уравнением первой
степени
(см. (3.6.)), т.е. уравнение вида (3.10), где
.
Если прямая перпендикулярна оси
,
то все ее точки имеют одинаковые абсциссы,
равные величине отрезка, отсекаемого
прямой на оси
,
что также является уравнением первой
степени вида (3.10.), где
.
Докажем
обратное утверждение. Пусть дано
уравнение (3.10). Если
,
то (3.10) можно записать в виде
.
Полагая
,
получим уравнение
,
т.е. уравнение (3.10.), которое определяет
прямую.
Если
и
,
то (3.10) примет вид
.
Обозначая –
через
,
получим
,
т.е. уравнение прямой, перпендикулярной
оси
.
Линии, определяемые уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Уравнение вида называется общим уравнением прямой.
6. Пересечение двух прямых.
Пусть
две прямые заданы общими уравнениями
и
.
Найдем точку пресечения этих прямых.
Очевидно, что она будет принадлежать
как первой, так и второй прямой.
Следовательно, ее координаты должны
удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому
для отыскания точки пересечения нужно
решить систему уравнений:
Решение даст точку пересечения этих прямых. Если система не имеет решения, то прямые не пересекаются, т.е. не имеют общей точки.