Vі. Интегральное исчисление

6.1. Понятие неопределеннного интеграла, свойства

Определение 1:	Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутке .
Определение 2:	Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом: ,где - некоторая первообразная для , с – произвольная постоянная.

В частности: .

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е.

.

Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению, т.е.

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слогаемого, т.е.

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

, где

- некоторое число.

4. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

5. Если числитель подинтегральной дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя .

Таблица интегралов от основных элементарных функций.

6.2. Определенный интеграл. Основные сойства

Если - первообразная функция от , т.е. , то .

Эта формула вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл. Если функция непрерывна на отрезке и внутри этого отрезка всюду неотрицательна, то определенный интеграл представляет собой в декартовой системе координат площадь криволинейной трапеции (см. рис. 12), ограниченной графиком подинтегральной функции , осью и двумя прямыми .

0

Рис. 12

Свойства определенного интеграла.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Если постоянная, то

6. .