2. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция задана на и в каждой точке существует . Тогда мы имеем новую функцию , заданную на , называемую производной функции . Значит, имеет смысл говорить о производной функции , то есть о или о второй производной от функции , которая обозначается , , . И, обобщая данную ситуацию, можно сказать, что производной -го порядка от функции называется производная от -ой производной функции .

Обозначая ,

Аналогичным образом определяется и дифференциал -го порядка.

Дифференциал -го порядка от функции равен дифференциалу от дифференциала -го порядка от функции . Обозначая -­ дифференциал -го порядка, имеем:

,

Например: , …

.

Пример №1.

Найти для функции .

Решение.

;

;

.

Пример №2.

Найти для функции .

Решение.

;

;

.

Значит, .

3. Дифференцирование некоторых функций

Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции.

Пример №1.

Найти производную из уравнения .

Решение.

Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно, . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим: , т.е. .

Пример №2.

Найти производную из уравнения .

Решение.

Дифференцируя по обе части уравнения, получим:

,

т.е. .

,

,

.

Дифференцирование степенно-показательной функции: .

Чтобы вычислить производную данной функции применятся специальный прием: предварительно прологарифмируем данное равенство по основанию , а затем продифференцируем по аргументу , учитывая, что функция сложная.

Пример №3.

;

;

;

;

;

;

наконец: .

Замечание. Способ дифференцирования функции предварительным логарифмированием также эффективен при нахождении производной функции, являющейся произведением или частным нескольких функций.

Пример №4.

Найти производную .

Решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию :

;

;

;

;

;

;

.

Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Если функция аргумента задана параметрическими уравнениями: , , то:

или ;

,

где ­­­- вспомогательная переменная, называемая параметром.

Пример №5.

Найти , если ,

.

Решение.

Найдем , .

Следовательно, .

Пример №6.

Найти , , если .

Решение.

Имеем:

.

5.4. Применение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций одной переменной

Монотонность

Теорема (достаточное условие).

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка , то она возрастает (убывает) на этом промежутке.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительная) на этом промежутке: , , т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Практическое нахождение участков монотонности функции.

Пусть функция задана на . Отметим на точки, в которых либо , либо не существует, либо терпит разрыв. Пусть это точки , , занумерованные в порядке возрастания. На каждом из производная непрерывна и сохраняет знак, который совпадает со знаком , где - выбранная для удобства вычислений точка этого интервала. Следовательно, на любом из этих интервалов возрастает при или убывает при .

Пример №1.

Найти интервалы монотонности функции .

Решение.

Имеем . Очевидно, при и при , так как:

.

_- +

2

Т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале .

Пример №2.

Найти интервалы монотонности функции .

Решение.

Находим первую производную функции:

.

в точках , . Наносим точки на числовую прямую.

+ _ +

-2 -1 0

В промежутках функция возрастает; в промежутке - убывает.

Экстремумы функции

Определение.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значение функции в точке называется соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Необходимое условие экстремума

Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).

Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Если при переходе через критическую точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то - есть точка максимума, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример №3.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

1. .

2. - критические точки.

_ + +

1

Нанести критические точки на числовую ось.

Согласно достаточному условию - точка минимума данной функции. В точке экстремума нет.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Определение.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Достаточное условие перегиба.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

1. (см. пример №3).

2. .

Т.е. при и .

+ _ +

1

3. на интервалах и . Следовательно, на этих интервалах функция выпукла вниз; на интервале . Следовательно, функция на нем выпукла вверх, а и есть точки перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки , лежащей на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при (слева) или при (справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции .

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Замечание. Если конечен только один из пределов или , то функция имеет только лишь левостороннюю или правостороннюю горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Пример.

Найти асимптоты кривой .

Решение.

Функция определена в интервалах . Так как , то прямая является вертикальной асимптотой кривой ( -точка разрыва). Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как и не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.

Находим:

;

.

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

Аналогично находятся:

;

.

Итак, существует левая наклонная асимптота .

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва ( если они существуют) и установить характер разрыва.

5. Найти асимптоты кривой.

6. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

8. На основе проверенного анализа построить график функции

Пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения , т.е. .

2. Функция четная, так как , и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках . Так как пределы функции при (слева) и при (справа) бесконечны, т.е. и , то прямая есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика также вертикальная асимптота.

4. Поведение функции в бесконечности. Вычислим . В силу четности имеем также , т.е. прямая - горизонтальная асимптота.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем ; при и не существует при .

Однако критической точкой является только точка (так как значения не входят в область определения функции). Поскольку при , а при , то - точка минимума и - минимум функции. На интервалах и функция убывает, на интервалах и - возрастает.

1. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:

.

Очевидно, что на интервале и функция выпукла вниз на этом интервале на интервалах , и на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями , т.е. точка пересечения с осью ординат . Уравнение решений не имеет, следовательно, график функциии не пересекает ось абсцисс.

По данным исследований строим график:

														1
										1					0					1
														1