Ііі. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Аналитическая геометрия есть область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Еще в VII веке французским математиком Рене Декартом был разработан и впервые применен так называемый «метод координат», позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык.

В основе «метода координат» лежит понятие системы координат. Прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел (рис. 1), которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Рассмотрим некоторые простейшие задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.

1. Расстояние между двумя точками.

Для любых точек и плоскости расстояние между ними определяется формулой:

. (3.1)

Рис. 1

Рис. 2

Очевидно, , (рис. 2). Формулу (3.1.) получаем из по теореме Пифагора.

.

2. Деление отрезка в данном отношении.

Теорема. Пусть даны точки и , через которые проходит некоторая ось. Если точка оси делит отрезок в отношении , то координаты и точки выражаются формулами:

, . (3.2)

Доказательство.

Точки проектируем на оси координат, их проекции на ось

обозначим через , а на ось через (рис. 3).

Рис. 3

Отрезки, заключенные между параллельными прямыми и пропорциональны. Следовательно:

,

но , , , .

Отсюда:

, .

Из этих уравнений найдем неизвестные и , получим исходные формулы (3.2). Теорема доказана.

Полагая в формулах (3.2) , имеем:

,

т.е. координаты середины отрезка равны полусуммам, одноименных координат его концов.

3.2. Линии первого порядка

Пусть на плоскости заданы: прямоугольная система координат и некоторая линия . Рассмотрим соотношение вида:

, (3.3)

связывающее переменные величины и .

Определение:

Уравнение (3.3.) называется уравнением линии (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на линии , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии .

Поскольку величины и рассматриваются как координаты переменной точки , их называют текущими координатами.

Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические задачи к алгебраическим.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная оси . Назовем углом наклона данной прямой к оси наименьшее положительное значение угла , на который нужно повернуть против часовой стрелки ось , чтобы ее направление совпало с одним из направлений прямой (рис. 4).

Рис. 4

В таком случае .

Тангенс угла наклона к оси называется угловым коэффициентом этой прямой и обозначается через :

. (3.4)

Обозначим через переменную точку с текущими коэффициентами и . Кроме того, введем в рассмотрение точку , в которой прямая пересекает ось . Из треугольника (рис. 4).

.

Отсюда, учитывая формулу (3.4), получим:

. (3.5)

Так как точка лежит на данной прямой, то уравнение (3.5) является уравнением данной прямой, которое после преобразования примет вид:

или

. (3.6.)

Уравнение (3.6.) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.