43Пряме перетворення Лапласа та його властивості

В класичному методі розрахунку для будь-якої i чи Uзнаходиться як сума двох складених, при цьому кожна із складених знаходиться окремо, що спрощує знаходження загального рішення.

При визначенні постійних інтегрування необхідно складати та розв’язувати системи рівнянь і ці системи будуть громіздкими, якщо досліджуване коло має три і більше реактивних елементи.

Було б бажано в цьому випадку знайти загальне рішення для перехідних iта U із рівнянь, в яких початкові умови враховані при складанні рівнянь.

Такий метод був запропонований Хевісайдом для розрахунку деяких електротехнічних задач і називається операторним. В ньому дії над дійсними функціями струмів чи напруг замінені діями над їх зображеннями. Математичне обґрунтування було зроблено пізніше вченим Ващенко-Захарченко. Він поширив його на розрахунок перехідних процесів в колах з розподіленими параметрами.

Співвідношення між дійсною функцією оригіналом і її операторним зображенням встановлено з допомогою прямого перетворення Лапласа.

F(p) – операторне зображення

F(p) – функція оригінал

p – функція комплексної змінної

Для того, щоб функція оригінал мала операторне зображення необхідно щоб вона задовольняла первинним вимогам :

1. Функція повинна задовольняти умови Діріхле;

2. Функція повинна мати обмежений ріст:

3. 

Якщо умови виконуються то (1) існує і функція має операторне зображення для всіх значень .

44Зображення напруг на індуктивності та ємності кола при відомому зображенні струму.

Нехай функція має зображення І(р).

Із математики відомо, що

Нехай маємо індуктивність

Li(t)

----/\/\/\/\/\----->----

-->

Нехай тепер ми маєво вітку з ємністю. Тоді:

--->-----| |--------

i(t) -->

Якщо до ()1 виконати пряме перетворення Лапласа, то

45. Закон Ома в операторной форме.

Нехай маємо ділянку кола на рис.1 .

Рис.1.

Після замикання ключа для миттєвої напруги Uab :Uab(t)=R*i(t)+U_L(t)+U_c(t)-e(t) (1)

Нехай i(t)=I(p), e(t)=E(p),тоді U_L(t)=L*P*I(p)-L*i(0)=U_L(p); Uc(t)=Uc(p)=I(p)/(c*p)+U_c(0)/p

Після застосування Лапласса до (1): U_ab(p)=R*I(p)+L*p*I(p)-L*i(0)+I(p)/(c*p)+U(0)/p-E(p) (2)

Для (2) можна розрахувати таку розрахункову схему :

В схемі рис. 2 крім операторних елементів для індуктивності L*p і ємності 1/C*p з‘явилися внутрішні операторні ЕРС цих елементів.

Для індуктивності L*i(p),для ємності Uc(0)/p. Додатні напрямки цих операторних ЕРС пов‘язані з додатнім напрямком зображення струму. Для операторної ЕРС індуктивності L*i(0) додатній напрямок збігається з додатнім напрямом струму; для операторної ЕРС ємності додатний напрямок протилежний додатньому напрямку струму. Якщо (2) розв’зати відносно зображення струму, отримаємо : I(p)=(E(p)+L*i(0)-Uc(0)/p+Uab(p))/R+L*p-1/(C*p) (3)

Вираз R+L*p-1/(C*p) (4)

називають операторним опором вітки. Порівнюючи (4) з виразом Z(jw) =R+j*w*L+1/(j*w*C) (5)

бачимо, що комплексний опір Z(jw) є частковим варіантом операторного опору, коли p=j*w. Якщо у вітці відсутня ЕРС і маємо нульові початкові умови i(0)=0, Uc(0)=0, то формула (3) для зображення I(p) спрощується, і має вигляд : I(p)=Uab(p)/Z(p)