46.Закони Кірхгофа в операторній формі.

Перший закон Кірхгофа у використанні до вузла в колі для дійсних струмів має вигляд

∑Іk=0

Оскільки струм Іk відображається за допомогою Лапласа, а інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів від доданків цієї суми , то перший закон Кірхгофа в операторній формі запишеться у вигляді

∑Іk(p)=0

Відповідно другий закон Кірхгофа у використанні до контуру кола

∑ek=∑uk

де ek – сума ЕРС джерел енергії в k-й вітці і uk – напруга на k-й вітці , записується в операторній формі:

∑Ek(p)=∑Uk(p)

Зрозуміло , що при складанні рівнянь Кірхгофа в операторній формі необхідно задати додатні напрямки всіх струмів і дотримуватись усі правила знаків , які задані раніше при складанні рівнянь на основі законів Кірхгофа для дійсних функцій часу. В загальному випадку для вітки , яка складає всі 3 елементи (r,L,C), маємо

t

uk=rkik+Lk(dik/dt)+1/Ck∫ikdt+uck(0)

0

згідно з ненульовими початковими умовами отримаємо

Uk(p)= rkIk(p)+pLkIk(p)-Lkik(0)+Ik(p)/(pCk)+Uck(p)/p

або

Uk(p)+Lkik(p)-uck(0)/p=Ik(p)[rk+pLk+1/(pCk)]

Величину

rk+pLk+1/pCk=Zk(p)

називають загальним опором вітки або операторним опором вітки.

Отже при цьому операторний запис законів Кірхгофа матиме вигляд

∑Ik(p)=0;

∑Ek(p)=∑[Ik(p)Zk(p)-Lkik(p)+uck(0)/p].

47.Визначення оригіналів струмів по їх зображенням.Формула розкладання

Для знаходження оригіналу представимо зображення ,отримане у вигляді раціонального дробу, простими складовими для яких відомі оригінали.З Ією ціллю скористуємося теоремою розкладу.Нехай маємо зображення у вигляді

X(p)=G(p)/H(p)

де G(p),H(p)-поліноми від р.Будемо вважати ,що степінь m поліному в чисельнику менше степені n в знаменнику(m<n).

Припустимо, що рівняння H(p)=0 не має кратних коренів , а також не має коренів рівних кореням рівняння G(p)=0.При вказаних умовах раціональний дріб можможна розкласти на прості дроби

n

G(p)/H(p)=A1/(p-p1)+A2/(p-p2)+…+An/(p-pn)= ∑Ak/(p-pk)

k=1

де р1,р2,...,рn -корені H(p).Для визначення коефіцієнтів Akможна використати один з багатьох прийомів, відомих з алгебри. Помноживши обидві частини рівності на (р-рk) і поклавши р=рk , отримаємо справа Аk, а зліва – невизначеність.Розкриваючи цю невизначеність, знаходимо

Ak=|G(p)(p-pk)/H(p)|p=pk=G(pk)lim[(p-pk)/H(p)]=G(pk)/H′(pk)

Таким чином,

k=nk=n

X(p)=G(p)/H(p)=∑Ak/(p-pk)=∑[G(pk)/H′(pk)]1/(p-pk)

k=1 k=1

Так якAk/(p-pk) ٪ , то для шуканої величиниx(t) маємо

Ця рівність і називається Теоремою розкладу.

Для визначення оригіналів струмів по їх зображенням використаємо задачу про розряд конденсатора на коло RL класичним методом. Нехай спочатку напруга конденсатора , а початкове значення струму в котушці i(0)=0.

Операторний вираз струму має вигляд

,

так як U(p)=0. Звідси, в даному випадку і . Корені рівняння H(p)=0будуть

. Так як , то . Користуючись теоремою розкладу отримаємо

. Нехай корені р1 і р2 рівні один одному: р1=р2= -δ і δ= , тобто поліном Н(р) має кратні корені. Припустимо спочатку, що р1≠ р2, отримаємо тільки що знайдене рішення, яке обертається при р1=р2 в невизначеність. Розкриваючи цю невизначеність при р1→р2 отримаємо шукане рішення у вигляді .