4.3. Геодезические криволинейные и прямоугольные координаты

Исходной системой координат, в которой задаются положения пунктов на поверхности Земли, является геодезическая, определяемая принятым общеземным эллипсоидом, например, рекомендованным XV11 Генеральной ассамблеей Международного геодезического и геофизического союза (Канберра, 1979 г.). Геодезическая система относимости (1980) задаётся параметрами:

м - большая полуось общеземного эллипсоида;

- геоцентрическая гравитационная постоянная;

- коэффициент второй зональной гармоники геопотенциала;

- угловая скорость вращения Земли.

Этим значениям соответствуют

- малая полуось общеземного эллипсоида;

- сжатие общеземного эллипсоида.

Z

i

B

Y

G L

X

Рис. 4.3. Прямоугольная и эллипсоидальная общеземные системы координат

В этой системе (рис. 4.3) координаты точек земной поверхности задаются геодезической широтой B (угол между нормалью к эллипсоиду, проходящей через данную точку и плоскостью экватора), геодезической долготой L (двугранный угол между плоскостью начального меридиана, проходящей через малую ось эллипсоида и точку начала счёта долгот и плоскостью меридиана пункта, проходящей через пункт и малую ось эллипсоида), геодезической высотой H (длина нормали от эллипсоида до пункта). Эллипсоид ориентируется так, что бы его малая ось проходила через Международное Условное Начало.

Переход от геодезических эллипсоидальных координат B, L, H к прямоугольным X, Y, Z осуществляется по формулам

;

;

; (4.3)

;

,

где N - радиус кривизны первого вертикала эллипсоида в данной точке;

e - эксцентриситет меридианного эллипса;

f - сжатие эллипсоида.

Обратный переход от прямоугольных координат к эллипсоидальным осуществляется немного сложнее перехода от прямоугольных координат к полярным. Известно несколько способов этих преобразований. Рассмотрим два из них.

Геодезическая долгота вычисляется просто:

. (4.4)

Геодезическую широту можно вычислить по формуле Боуринга

, (4.5)

в которой - второй эксцентриситет, а вспомогательный угол находится из выражения

.

Наибольшая ошибка определения широты этим методом не превосходит .

Для вычисления геодезической широты можно воспользоваться также методом последовательных приближений. В первом приближении геодезическую широту вычисляют по приближённой формуле:

. (4.6)

В последующих приближениях широту вычисляют итерациями по формуле

. (4.7)

После вычисления геодезической широты с заданной точностью (для достижения точности обычно бывает достаточно трёх - четырёх приближений), можно найти геодезическую высоту, например, по формуле

. (4.8)