1.2. Четырёхмерная метрика в Солнечной системе
Квадрат инвариантного «расстояния» между двумя бесконечно близкими событиями в физическом четырёхмерном пространстве определяется общей квадратичной формой вида
,
(1.4)
в
которой
- компоненты фундаментального ковариантного
(индексы записаны внизу) метрического
тензора, представляющие собой некоторые
функции пространственных координат,
обозначаемых
и временной координаты
.
Здесь мы используем индексированное
обозначение координатных осей, как это
принято в теории относительности.
Метрический тензор, который обозначают
обычно так же, как и его компоненты,
симметричен. Это означает, что его
компоненты не меняются при перестановке
местами индексов, т.е.
.
Индексы в выражении (1.4) пробегают
независимо друг от друга значения 0,
1, 2, 3, причём
по дважды повторяющимся индексам,
записанным один вверху, а другой внизу,
производится суммирование по умолчанию.
Следовательно, в развёрнутом виде правая
часть выражения (1.4) содержит десять
слагаемых:
.
Величины , определяют все внутренние геометрические свойства в любой криволинейной системе координат и устанавливают, как говорят, метрику (геометрию) пространства-времени.
Нахождение
в теории тяготения А. Эйнштейна
осуществляется из решения уравнений
гравитационного поля. В Солнечной
системе, где гравитационное поле слабое
(модуль гравитационного потенциала в
любой точке Солнечной системы существенно
меньше квадрата скорости света; например,
на поверхности Солнца отношение модуля
гравитационного потенциала к квадрату
скорости света имеет порядок
),
уравнения гравитационного поля вне
создающих поле масс можно записать в
виде
.
(1.5)
Левая
часть уравнений (1.5) представляет собой
симметричный тензор Риччи. Уравнения
(1.5) справедливы для любой системы масс,
однако в дальнейшем мы будем иметь в
виду гравитационное поле, создаваемое
Солнцем и планетами. Не смотря на
лаконичность записи, выражение (1.5)
представляет собой систему из десяти
дифференциальных уравнений второго
порядка. В этом легко убедиться, имея в
виду, что тензор Риччи связан с символами
Кристоффеля
и их производными по координатам
выражением
,
(1.6)
а символы Кристоффеля, в свою очередь, зависят от компонентов метрического тензора и их производных по координатам следующим образом
.
(1.7)
В
выражениях (1.6) и (1.7) символом запятая
обозначены обычные производные по
координатам, например,
.
На первый взгляд десяти уравнений гравитационного поля Эйнштейна (1.5) как раз хватает для однозначного нахождения десяти неизвестных величин . Однако, имеют место четыре тождества Бианки
,
(1.8)
поэтому
функционально независимых уравнений
Эйнштейна остаётся только шесть [6].
Символ точка с запятой в тождествах
(1.8) обозначает ковариантную производную
по координатам. Например, ковариантная
производная ковариантного тензора
второго ранга записывается, как
,
а ковариантная производная ковариантного
тензора с любым числом индексов
составляется по правилу
.
Ковариантная производная контравариантного
тензора второго ранга записывается,
как
,
а ковариантная производная контравариантного
тензора с любым числом индексов
составляется по правилу
.
Для получения однозначного решения уравнений Эйнштейна приходится накладывать четыре координатных условия.
Международный астрономический союз рекомендует с этой целью использовать следующие условия
,
(1.9)
удовлетворяющие требованиям гармоничности [8].
Здесь
– контравариантный (индексы вверху)
метрический тензор,
– определитель матрицы, составленной
из компонентов ковариантного (индексы
внизу) метрического тензора.
Приближённым
решением (с точностью до
)
уравнений (1.5) с учётом условий (1.9)
является метрика вида [8]
.
(1.10)
Здесь
- скорость
света в вакууме;
– элементарный промежуток собственного
времени;
– гравитационный ньютоновский потенциал
тяготения;
– элементарный промежуток координатного
времени.
В
Солнечной системе гравитационное поле
является слабым, поэтому пространство
является квазиевклидовым и пространственные
координаты
очень близки к классическим декартовым
координатам
[11].
Связь между элементарными промежутками координатного и собственного времени выводится из пространственно-временной метрики (1.10) и с достаточной точностью выражается формулой [4]:
,
(1.11)
где
– скорость движущихся часов.