2.2. Преобразование координат посредством вращений

При решении тех или иных задач геодезии приходится использовать системы координат, различающиеся расположением начала систем координат (например, геоцентрические - начало в центре масс Земли, квазигеоцентрические - начало в окрестностях центра масс Земли, топоцентрические - начало в точке на поверхности Земли, спутникоцентрические - начало в центре масс спутника, барицентрические - начало в центре масс системы рассматриваемых тел и т.д.), ориентацией основной плоскости (например, экваториальные - основая плоскость параллельна плоскости экватора, горизонтные - основная плоскость параллельна плоскости математического горизонта, орбитальные - основная плоскость параллельна плоскости орбиты рассматриваемого тела), ориентацией начальной плоскости (например, гринвичские - начальная плоскость совпадает или параллельна плоскости гринвичского меридиана, равноденственные - начальная плоскость совпадает с плоскостью колюра равноденственных точек и т.д.), видом координатных систем (например, прямоугольные, полярные, сферические, сфероидические, цилиндрические и т.д.).

Пусть заданы координаты произвольного вектора в системе координат . Требуется преобразовать эти координаты в систему координат , оси которой развёрнуты относительно осей , начала же систем координат совпадают.

Разложение вектора по ортонормированным базисам в каждой из рассматриваемых систем координат можно представить в виде

или в матричной форме

.

Учитывая, что

,

предыдущее выражение можно преобразовать к виду:

или

. (2.5)

Из выражения (3.5) следует, что для осуществления преобразования, нужно располагать девятью направляющими косинусами (параметрами преобразования). Однако между направляющими косинусами, входящими в формулу (3.5), имеют место следующие шесть зависимостей:

Это означает, что из девяти величин независимыми являются только три. И, таким образом, элементы матрицы преобразования можно выразить через три независимых параметра. В качестве этих трёх независимых величин используют углы, которые можно ввести различными способами. Если ввести три независимых угла, то задача по преобразованию координат сводится к трём поворотам одной из систем координат до полного совпадения её осей со второй системой координат.

Напомним вид матриц вращения , которые образуются при поворотах против хода часовой стрелки (если смотреть с положительного конца оси, вокруг которой происходит вращение) относительно каждой из трёх осей координат на произвольный угол .

При повороте вокруг оси абсцисс (i = 1) матрица вращения имеет вид

.

При повороте вокруг оси ординат (i = 2) матрица вращения имеет вид

.

При повороте вокруг оси аппликат (i = 3) матрица вращения имеет вид

.

Рассмотрим различные углы вращения, а именно: углы Эйлера и углы Кардано.

3.3. Преобразование прямоугольных координат с использованием углов Эйлера

Три угла Эйлера вводятся следующим образом (рис. 2.2):

- угол между осью и линией пересечения основных плоскостей рассматриваемых систем координат;

- угол между основными плоскостями или, что, то же самое, угол между осями аппликат и ;

- угол между линией пересечения основных плоскостей и осью .

z₁

z₂

y₂

O y₁

x₂

x₁

Рис. 2.2. Углы Эйлера

Преобразование координат точки, заданной в системе координат , к координатам той же самой точки в системе координат осуществляется посредством трёх последовательных поворотов вокруг соответствующих координатных осей. Первый поворот вокруг оси аппликат на угол , второй поворот вокруг новой оси абсцисс на угол , третий поворот вокруг оси аппликат на угол . Математически это преобразование описывается следующими формулами

(2.6)

, (2.7)

где - направляющие косинусы оси x₂ в системе x₁y₁z₁.

В уравнении (2.6) A - матрица вращения (определитель этой матрицы равен единице, detA = 1), следовательно, обратный переход осуществляется транспонированием матрицы A:

.

При малых углах Эйлера матрицу преобразования можно записать приближённо:

. (2.8)