Тема 9. Финансовая рента

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента (или просто рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

1) член (элемент) ренты (P) – величина каждого отдельного платежа;

2) период ренты (t) – временной интервал между двумя платежами;

3) срок ренты (n) – время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

4) процентная ставка (r) – ставка, применяемая для вычисления наращения или дисконтирования платежей, формирующих ренту.

Кроме перечисленных параметров, ренту характеризует ряд дополнительных показателей:

- количество платежей в течение года (p);

- частота начисления процентов, т.е. количество периодов в году, когда начисляют проценты (q);

- момент осуществления платежей (в начале, середине или в конце года) и др.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

1. В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют:

- годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;

- срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.

2. По числу начислений процентов различают:

- ренты с начислением процентов один раз в год;

- ренты с начислением процентов несколько раз в год;

- непрерывное начисление.

3. По величине членов ренты могут быть:

- постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;

- переменные ренты, где величина платежа варьируется, т.е. рента с неравными членами.

4. По числу членов ренты они бывают:

- с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;

- с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.

5. По вероятности выплаты ренты делятся на:

- верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;

- условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.

6. По методу выплаты платежей выделяют:

- обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего,– с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);

- ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

9.1 Оценка постоянного аннуитета постнумерандо (прямая задача) Ренты с начислением процентов в конце года

1. Годовая рента - рента, в которой платеж, равный P, выплачивается в конце каждого года, и в конце каждого года на накопленную сумму начисляются сложные проценты по ставке r. Наращенная за n лет сумма FV и величина платежа P рассчитываются по формуле (8.8).

Например, предприниматель вкладывает 100 руб. в конце каждого месяца в банк, выплачивающий проценты по ставке r_c12  = 9%. Какую сумму он накопит за 2 года?

Вклады в банк, которые делает предприниматель, образуют финансовую ренту, в которой P = 200, n = 24 (2 года по 12 месяцев), r_c=0.09/12 = 0.0075. Находим наращенную сумму ренты по формуле (8.8):

2. p -срочная рента - рента, при которой p раз ежегодно через равные промежутки времени производятся платежи, равные P/p. На накопленную сумму начисляются сложные проценты по годовой ставке r_c. Всего за n лет будет сделано np платежей. Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения – в размере P/p/ На предпоследний платеж по годовой ставке r_c начисляются сложные проценты за период, равный 1/р части года, следовательно, в момент n наращенная на этот платеж сумма определяется по формуле (9.1):

(9.1)

Сумма, наращенная к моменту n на второй от конца платеж, определяется по формуле (9.2).

(9.2)

Сумма, наращенная к моменту n на первый платеж, определяется по формуле (9.3), так как на него начисляются сложные проценты (np − 1) раз по годовой ставке r_c каждый раз за период, равный 1/p части года.

(9.3)

Наращенная за n лет сумма всей ренты равна (9.4).

(9.4)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁ = P/p и знаменателем q = (1 + r_c)^1/p. Число членов прогрессии равно np. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.5).

(9.5)

Например, предприниматель решил ежегодно пополнять счет в банке по 8000 руб., делая равные взносы ежеквартально. Ставка 5% годовых. Какая сумма будет на счету через 6 лет? Находим наращенную сумму по формуле (9.5).