3. Рента с периодом больше года.

Так называется рента, в которой платеж, равный P, выплачивается один раз в m лет (m > 1). Сложные проценты по годовой ставке r_c начисляются ежегодно. Всего за n лет будет сделано n/m платежей. Найдем наращенную к моменту n сумму FV этой ренты. Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере P.

Предпоследний платеж сделан за m лет до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него сумма будет равна P(1 + r_c)^m.

Второй от конца платеж сделан за 2m лет от момента n, следовательно, наращенная на него сумма в момент n равна P(1 + r_c)^2m.

Последний платеж сделан за (n − m) лет от момента n, следовательно, наращенная на него сумма в момент n равна P(1+r_c)^n-m. Наращенная за n лет сумма ренты определяется (9.6):

(9.6)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁, равным P, знаменателем q, равным (1+r_c)^m и числом членов n/m. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.7).

(9.7)

Например, предприниматель образовал фонд развития, в который каждые 3 года отчисляет 3 млн. руб., вкладывая их в банк, начисляющий на вложенные деньги 6% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 12 лет? Взносы в фонд образуют ренту с периодом больше года. Член ренты P = 4 млн. руб., m = 3, r_c = 0.06, n = 12. Накопленную сумму вычисляем по формуле (9.7).

Ренты с начислением процентов q раз в год

1. Годовая рента.

В этом случае платеж Р делается один раз в конце каждого года, а проценты начисляются q раз в год по ставке r_q то есть по r_q /q,%. Изобразим эту ренту на оси времени (рис.9.1).

Рис.9.1. Логика решения задачи годовой ренты с начислением процентов несколько раз в год

Найдем наращенную к моменту n сумму такой ренты. Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения. Предпоследний платеж делается за 1 год до момента n и на него начисляются сложные проценты q раз по ставке r_c, то есть наращенная на этот платеж сумма в момент n определяется по формуле (9.8).

(9.8)

Третий от конца платеж делается за 2 года до момента n, и наращенная на этот платеж сумма в момент n определяется по формуле (9.9).

(9.9)

Первый платеж делается за (n − 1) год до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него сумма определяется по формуле (9.10).

(9.10)

Для вычисления наращенной суммы каждый раз применяется формула (9.11).

(9.11)

Вся наращенная сумма определяется как (9.12):

(9.12)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁ = P, знаменателем q = (1 + r_c/q)q и числом членов n. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.13).

(9.13)

Например. Ежегодный вклад в банк 5000 руб. по ставке 12% годовых (сложных). Определить сумму вклада через 6 лет, если проценты начисляются ежеквартально. Это годовая рента с начислением процентов четыре раза в год.

2. p-срочная рента.

В этом случае ежегодно p раз производятся платежи через равные промежутки времени. Каждый платеж равен P/p. Проценты начисляются q раз в году по ставке r_c, то есть процент за один период равен r_c/q,%. На оси времени эту ренту можно изобразить так же, как и на рисунке 9.1. Найдем наращенную в момент n сумму этой ренты. На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере Р/p. На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке r_c за период, равный 1/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма по формуле (9.14).

(9.14)

На второй с конца платеж начисляются проценты по ставке r_c за период, равный 2/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма определяются по формуле (9.15).

(9.15)

Последний платеж делается за (n−1)p лет до момента n, то есть наращенная в момент n на этот платеж сумма определяется по формуле (9.16).

(9.16)

Вся наращенная на ренту сумма определяется как (9.17):

(9.17)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁ = P/p, знаменателем q = (1 + r_c/q)^q/p и числом членов qp. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.18).

(9.18)

Например, Ежегодный вклад в банк 15000 руб. по ставке 12% годовых (сложных). Вклад вносится за четыре платежа в год. Определить сумму вклада через 6 лет, если проценты начисляются один раз в полгода.

Это р-срочная рента с начислением процентов два раза в год.