3. Рента с периодом больше года.

В этом случае член ренты, равный P, выплачивается через каждые m лет (m > 1). Проценты начисляются по ставке r_c,/q через равные промежутки времени. Найдем наращенную к моменту n сумму этой ренты. Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере P. Предпоследний платеж сделан за m лет до момента n и каждый год на него начисляются сложные проценты q раз по ставке r_c/q%, то есть в момент n наращенная на этот платеж сумма будет определена по формуле (9.19).

(9.19)

Второй от конца платеж сделан за 2m лет до момента n, то есть в момент n наращенная на этот платеж сумма определяется по формуле (9.20).

(9.20)

Первый платеж сделан за (n − m) лет до момента n, то есть в момент n наращенная на этот платеж сумма определяется по формуле (9.21).

(9.21)

Вся наращенная сумма ренты равна сумме вышеуказанных платежей. Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁ = P, знаменателем

и числом членов n/q. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.22).

(9.22)

Например, вклад пополняется на 20000 руб. в конце каждых двух лет. Определить сумму вклада через 10 лет, если проценты начисляются ежеквартально по ставке сложного процента 12% годовых.

9.2 Оценка постоянного аннуитета постнумерандо (обратная задача) Ренты с начислением процентов в конце года

1. Годовая рента

Современная ценность этой ренты определяется по формуле (8.11), где n - число лет, r_c - годовая ставка сложных процентов.

Например, какую сумму необходимо положить в банк сейчас под 10% годовых (сложных), чтобы ежегодно снимать по 7000 руб. в течение 5 лет?

2. p -срочная рента

Используя формулы (8.9) и (9.5), находим современную ценность PV этой ренты (9.23):

(9.23)

3. Рента с периодом более года.

Используя формулу (8.9) и выражение для определения наращенной суммы (9.7), найдем значение современной ценности этой ренты (9.24).

(9.24)

Ренты с начислением процентов q раз в год

1. Годовая рента

Используя формулу (9.11) находим значение современной стоимости этой ренты (9.25):

(9.25)

Подставляя в полученное выражение значение FV_pst из формулы (9.13), получаем выражение (9.26).

(9.26)

2. p -срочная рента

Используя формулы (9.11) и (9.18), находим (аналогично расчету (9.25)) современную ценность PV этой ренты (9.27):

(9.27)

3. Рента с периодом более года.

Используя формулу (9.11) и выражение для определения наращенной суммы (9.22), аналогично расчету (9.26), найдем значение современной ценности этой ренты (9.28).

(9.28)

Задания для самостоятельной работы.

Задание 9.1. Компания вкладывает 250 000 руб. в конце каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету компании: а) через 3 года, б) через 10 лет?

Задание 9.2. Решите упражнение 1 в предположении, что компания делает вклады в конце каждого квартала, и банк выплачивает проценты по ставке r₄ = 5%.

Задание 9.3. Индивидуальный предприниматель хочет накопить за 6 лет 400 000 руб. для покупки оборудования, делая ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке r = 10% годовых (сложных). Какую сумму ежегодно должен индивидуальный предприниматель вкладывать в банк?

Задание 9.4. Решите упражнение 3 в предположении, что индивидуальный предприниматель делает ежемесячные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке r₁₂ = 5%.

Задание 9.5. Акционерное общество образовало фонд для покупки оборудования, вкладывая в него ежегодно 300 000 руб. При этом каждое полугодие оно делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету Общества через 4 года?

Задание 9.6. Какую сумму должно вкладывать Общество из предыдущего упражнения ежегодно, если ему необходимо накопить за 4 года 2 млн. руб.?

Задание 9.7. Компания фонд для реконструкции здания, вкладывая в него каждые 4 года 15 млн. руб. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 16 лет?

Задание 9.8. Какую сумму должна вкладывать в банк компания в условиях предыдущего упражнения, чтобы через 20 лет накопить 120 млн. руб., необходимых для реконструкции?

Задание 9.9. Судостроительная компания перечисляет в конце каждого года 120000 руб. в банк, который выплачивает сложные проценты шесть раз в год по ставке r₆= 8%. Какая сумма будет на счете компании через 10 лет?

Задание 9.10. Какую сумму должна класть в банк в конце каждого года фирма из предыдущего упражнения, чтобы за 10 лет накопить 2 млн. руб.?

Задание 9.11. Судостроительная компания из упражнения 9 желает вносить в банк ежеквартально по 30 000 руб. Какую сумму она накопит за 10 лет?

Задание 9.12. Какую сумму должна вносить ежеквартально судостроительная компания из упражнения 9, чтобы за 15 лет накопить 3 млн. руб.?

Задание 9.13. Банк выплачивает на вложенные в него деньги проценты по ставке r₄ =3%. Клиент вкладывает в этот банк ежегодно 800 руб., делая равные вклады в конце каждого квартала. Какая сумма будет на счету этого клиента через 5 лет?

Задание 9.14. Какую сумму должен вкладывать ежегодно клиент из предыдущего упражнения, чтобы за 6 лет накопить 6 000 руб.?

Задание 9.15. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 500 руб., исчерпав весь вклад к концу десятого года?

Задание 9.16. Решить упражнение 15, если банк выплачивает проценты по ставке r₁₂= 5%.

Задание 9.17. Какую сумму следует положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет получать ежегодно по 500 руб., снимая эту сумму равными частями каждые 6 месяцев, если банк начисляет на вложенные в него деньги 5% годовых?

Задание 9.18. Решить упражнение 17, если банк начисляет проценты по ставке r₃= 5%.

Задание 9.19. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет иметь возможность снимать со счета каждые два года по 1 000 руб., исчерпав весь вклад к концу этого срока, если банк начисляет на деньги, находящиеся на счете, 10% годовых?

Задание 9.20. Решить предыдущее упражнение, если банк начисляет проценты по ставке r₂ = 10%.