Приложение д Ряд Пада

При моделировании приходится применять разложение функции К(р) = e^–pτ в быстросходящиеся ряды и ограничение сравнительно небольшим числом членов ряда [7, 15, 16, 110, 117]. Естественно, в первую очередь используют приближения с помощью дробно-рациональных функций, как наиболее универсальных. Разложение е^-pτ в дробный ряд Пада является известным примером такого подхода. В этом случае получим

, (8)

где

;

.

Например, при μ = ν = 1 получим K(р) вида

.

При μ = ν = 2 получим

. (9)

При μ = ν = 4 получим

.

Сравнение выражений показывает, что разложение е^–pτ в дробный ряд Пада соответствует приближению е^–рτ с помощью дробно-рациональной функции вида (8) [7].

График () отображает фазовые характеристики для различного числа членов ряда Пада в функции от величины ω, являющейся важным показателем реального блока запаздывания.

Так, например, для приближения рядом Пада 2-го порядка ошибка в фазовой характеристике между идеальной φ(ω) = –ω и приближенной составит

.

Результат, полученный на данном графике, можно подтвердить экспериментально, подавая синусоидальный сигнал на вход звена запаздывания как идеального, так и полученного приближением к идеальному с использованием разложения в ряд Пада.

Рис. 66. Фазовые характеристики при разложении в ряд Пада

Наконец, можно осуществить приближение с помощью последовательного включения элементарных звеньев, обладающих детектирующими свойствами, например, с передаточной функцией вида

.

При этом ошибка в фазовой характеристике составит при конечном числе ряда следующую величину:

.

Приближение e^–pτ с помощью функций передачи, отличных от минимально-фазового вида, принципиально возможно, однако приводит к медленно сходящимся рядам, и, следовательно, нельзя ограничиться малым числом членов разложения, что ухудшает возможность практической реализации подобных устройств. К подобным видам разложения относится ряд Тейлора:

или следующее выражение

.

График () показывает, насколько узок тот частотный спектр, в котором применимо приближение, использующее разложение в ряд Тейлора. С другой стороны, на этом графике показано также, что за счет несколько иного выбора коэффициентов разложения можно получить результат по точности как у приближения рядом Пада 4-го порядка, а порядок полученной функции будет равен 2, что, несомненно, дает более лучшие предпосылки к аппаратурной и программной реализации.

Структурная схема данной системы имеет следующий вид ():

Рис. 67

Представим ещё одну структуру системы регулирования объектом с запаздыванием [7, рис. 138]. В книге некоторые разделы написаны так хорошо и подробно, что хочется обратить внимание студентов, как автор анализирует, исследует, строит гипотезы и старается их проверить, делает выводы.

Первый этап построения системы с предварением (упреждением) состоит в синтезе передаточной функции упредителя Wу(р). А идея очень проста: хотелось бы получить систему без чистого запаздывания. На основании теории автоматического управления линейный упредитель может быть включен параллельно объекту управления (в данном случае – параллельно модели ОУ).

Определим структуру передаточной функции упредителя Wy(p) с целью исключения влияния чистого запаздывания. Для выполнения этого условия должно выполняться следующее соотношение:

.

Из структурной схемы, приведённой на рис. 67, имеем

X(p) = U(p)W1(p)e^–pτ + U(p)Wy(p)

или

U(p)W1(p) = U(p)W1(p)e^–pτ + U(p)Wy(p).

Отсюда найдём передаточную функцию упредителя Wy(p):

Wy(p) = W1(p)(1 – e^–pτ).

В результате получим схему, изображённую на рис. 68. Проведём небольшой анализ упредителя.

Рис. 68. Структурная схема ОУ и упредителя

Рис. 69. САР с упредителем

Рис. 70. Более надёжная структура САР с упредителем

Для повышения надёжности работы упредителя введём в структуру два коэффициента К1 и К2, причём К1 > К2. Например, К1 = 2, а К2 = 1.

Расчет параметров настройки регулятора производится без учета звена чистого запаздывания.

Передаточную функцию звена чистого запаздывания представим в виде ряда Пада 2-го порядка:

. (10)

Передаточная функция регулятора с учетом найденных параметров

.

Передаточная функция замкнутой системы без упредителя

.

Передаточная функция замкнутой системы c упредителем

.

Характер разницы между этими двумя системами можно оценить по графику на рис. 71. Из данного графика видно, что переходный процесс в системе с упредителем (предикатором) имеет намного лучшее качество регулирования.

Рис. 71. Графики переходных процессов:

1 – без упредителя; 2 – с упредителем

Реализация упредителя Смита

Для удобства восприятия и наблюдения на контроллере Р-130 реализована система автоматического управления с упредителем Смита только для объекта 2-го порядка, как наиболее часто встречающегося в промышленности. В Mathcad исследованы также системы автоматического управления объектами 1-го и 3-го порядков. В качестве объекта управления возьмём передаточную функцию вида

,

где T₂ и Т₁ – постоянные времени объекта; k – коэффициент передачи.

В дифференциальной форме уравнение объекта управления будет иметь следующий вид:

.

Запишем данное уравнение в следующей форме (старшую производную переносим в левую часть уравнения):

. (11)

Методика перехода от дифференциальных уравнений к интегральным подробно изложена в литературе по аналоговым машинам [125, 126, 127-131]. Выражение (11) реализуется на Р-130 с помощью 2-х интеграторов и сумматора с масштабируемыми входами ().

Для наглядности ниже представлена программа, реализующая данный объект на Р-130 (). В программе, реализующей модель объекта, не учитывается время цикла контроллера.

Кривая разгона данного объекта управления без запаздывания представлена на . Следует отметить, что значения, соответствующие данной кривой разгона, не совпадали со значениями, которые выводились на лицевую панель при моделировании этого объекта на Р-130. Хотя первые 10 секунд наблюдения эти значения были сопоставимы, а затем разница между ними стала ощутимой. Для выявления причины этих расхождений необходимо проводить исследования (например, оценить влияние цикла контроллера).

Рис. 72. Схема моделирования дифференциального уравнения

В качестве модели ОУ можно использовать, например, звено второго порядка следующего вида:

.

Переключатель служит для формирования ступенчатого воздействия на ОУ. В программе () не содержится звено запаздывания.

Рис. 73. Программная реализация звена второго порядка

Переходная характеристика представлена на рис. 74.

Рис. 74

В контроллере Р-130 звено запаздывания можно реализовать двумя способами: во-первых, используя алгоритм ЗАП (39), ; во-вторых, используя разложение в ряд Пада (в данном случае 2-го порядка), формула (9).

Рис. 75

Одной из проблем, возникающих при реализации программы (), является трудность расчета количества алгоблоков и значения модификатора исходя из цикла котроллера. Например, объект имеет западывание 10 секунд (цикл контроллера 0,2 секунды). Как видно из структуры алгоблока (), один алгоблок ЗАП (39) с модификатором m = 12 может задержать сигнал на 12 · 0,2 = 2,4 секунды, следовательно для задержки сигнала на 10 секунд необходимо использовать 4 алгоблока ЗАП (39) с модификатором m = 12 и один алгоблок ЗАП (39) с модификатором m = 2. На взгляд автора, это не очень удобно. Допустим, через некоторое время после реализции вышеуказанной схемы по каким-либо причинам пришлось изменить цикл контроллера. Следовательно, рассчитанное запаздывание не будет соответствовать реальному, и для их приведения в соответствие необходимо будет вносить изменения в существующую программу.

Рис. 76

Используя полученное выражение для разложения в ряд Пада 2-го порядка можно записать в дифференциальной форме:

,

где  – время запаздывания.

Запишем данное выражение в следующем виде:

.

Данное выражение аналогично вышеприведенной схеме () и реализуется с использованием сумматоров с масштабируемыми входами и интеграторов.

Выводы

В ходе выполнения данной работы были получены результаты:

1. использование настройки регулятора без учета звена чистого запаздывания сопряжено с риском получить в итоге расходящийся переходный процесс и соответственно неустойчивую систему в замкнутом состоянии или получить колебательный переходный процесс;

2. применение разложения в ряд Тейлора в качестве приближения звена запаздывания нежелательно по причине медленной сходимости данного ряда, что не дает ограничиться малым числом членов ряда исходя из условий аппаратурной реализации;

3. реализация запаздывания с помощью алгоритма ЗАП (39) требует постоянного контроля времени цикла контроллера;

4. реализация запаздывания с использованием разложения в ряд Пада требует знания производных входного сигнала (то есть того, который поступает на вход звена запаздывания), что требует наличия, при реализации на практике, операций дифференцирования (что не всегда удается осуществить);

5. применение упредителя Смита в системах с объектом, имеющим запаздывание, уменьшает величину перерегулирования и длительность переходного процесса, то есть повышает качество переходного процесса.

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж