9. Внутренняя энергия и теплоёмкость идеального газа.

Используем уравнение состояния идеального газа pv = RT для нахождения частных производных , входящих в общие уравнения для теплоемкостей.

Для этого продифференцируем уравнение Менделеева-Клайперона pv=RT:

pdv + vdp = RdT, откуда имеем

,

,

Из первого начала термодинамики в форме dU = TdS – pdv,используя

дифференциальные соотношения термодинамики и выражение

для идеального газа, можно окончательно получить:

,

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа от величины объёма не зависит. Математически этот факт записывается как

U U (v),

Исследуем вопрос о зависимости внутренней энергии идеального газа от величины давления. Найдем частную производную , для чего запишем ее в виде произведения двух частных производных:

Здесь =0 , а изотермическая сжимаемость величина конечная по своей физической сути, т.е. .Тогда окончательно =0,

Из этой формулы следует, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от величины давления, то есть UU(р)

Таким образом,, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры:

dU = c_vdT,

Или после нтегрирования :

,

Эта формула используется для расчета изменения внутренней энергии во всех процессах идеального газа. Для взятия интеграла нужно знать зависимость С_v от Т.

Если в диапазоне от T₁ до T₂, взять c_v средним значением ,то после интегрирования получим

U = (T2-T1)

Эта формула используется в инженерных расчетах для определения изменения внутренней энергии идеального газа в любом процессе.

Получим формулу для массовой изобарной теплоёмкости идеального газа.

Подставим значения частных производных для идеального газа в общую формулу для изобарной теплоемкости

и окончательно получим уравнение Майера:

Из этой формулы следует, что массовая изобарная теплоёмкость больше массовой изохорной теплоёмкости идеального газа на величину удельной газовой постоянной R.

Для мольных теплоёмкостей уравнение Майера запишется в виде:

где

Таким образом молярная изобарная теплоемкость больше молярной изохорной на величину универсальной газовой постоянной.

Отношение изобарной теплоемкости к изохорной называется показателем адиабаты

В соответствие с уравнением Майера К> 1.

В инженерных расчетах для всех двухатомных газов, включая воздух, полагают K 1,4.

В действительности, с ростом температуры показатель адиабаты слабо убывает.