13. Уравнения адиабаты идеального газа (Уравнения Пуассона).

Из трех уравнений для расчета энтропии:

для изоэнтропного ( обратимого адиабатного) процесса идеального газа, когда dS=0 , после интегрирования можно получить

где k - показатель адиабаты.

Эти три уравнения называются уравнениями адиабаты идеального газа или уравнениями Пуассона .

Уравнения Пуассона описывают через различные сочетания термодинамических параметров один и тот же обратимый адиабатный процесс термодеформационной системы. Выбор уравнения зависит от исходных данных в решаемой задаче.

В координатах _p- V адиабата идеального газа изображается в виде гиперболы к-того порядка, идущей круче изотермы _{( p v} = Const.)

14. Уравнение адиабаты реального газа в общем виде.

Если приравнять нулю полный дифференциал энтропии , записанной в общем виде как S=S(P,V) , то после преобразований можно получить уравнение , которое называется уравнением адиабаты в общем виде:

;

где, K – показатель адиабаты (K>1)

Формулировка полученной зависимости: адиабатная сжимаемость в K раз меньше изотермической сжимаемости

Физическая природа различия сжимаемостей состоит в том, что при адиабатном сжатии, температура газа повышается, а при изотермическом-остается постоянной. Но, в соответствии с уравнением состояния, повышение температуры газа даже без уменьшения его объема дает дополнительное повышение давления, увеличивающее сопротивление сжатию.

15. Политропный (политропический) процесс.

Уравнение политропы. Определение показателя политропы.

На рисунке в P-V координатах изображены четыре простейших процесса (изопроцесса), для сравнения проходящие через общую точку А:

1- изобарный 2-изохорный; 3-адиабатный;4-изотермический

р 2

А

1

4

3

V

Рисунок. Изображение изопроцессов в P-V координатах.

Н о в целом ряде случаев реальные процессы, например, изображенный на рисунке, не соответствуют ни одному из изопроцессов. Для выполнения теплотехнических расчётов в таких случаях, пусть даже с какими-то погрешностями, реальный процесс заменяется гипотетическим, имеющим формулу, удобную для математических преобразований.

Рисунок. Пример политропного процесса

Этому требованию удовлетворяет уравнение вида .

Так как это уравнение должно описывать всё многообразие реальных процессов, то в этом уравнении должен присутствовать коэффициент согласования (идентификации). Этим коэффициентом является показатель степени n, называемый показателем политропы.

В отличие от показателя адиабаты k>1 в уравнении Пуассона , показатель политропы может иметь любые значения в интервале от () до (+), так как является коэффициентом согласования,.

Показатель политропы определяется путем обработки опытных данных.

Алгоритм определения показателя политропы n по известной кривой процесса.

1. Разбиваем pv-диаграмму реального процесса на N точек (чем больше точек, тем лучше).

2. Снимаем с pv-диаграммы реального процесса значение абсолютного давления p_i и удельного объёма v_i в каждой i-той точке и заносим в таблицу.

3. Для каждой i-той точки вычисляем значения lnp_i и lnv_i и заносим в таблицу.

4. Строим все точки процесса в логарифмических координатах lnp -lnv.

5. Аппроксимируем точки в логарифмических координатах одной прямой, используя метод наименьших квадратов или другой аналогичный метод. Если это удаётся, то тангенс угла наклона прямой к оси lnv равен показателю политропы.

Ниже представлен пример определения показателя политропы.

Рис. Пример обработки опытных данных для определения показателя политропы

i-номер точки	pi, Па	vi,	Lnpi	Lnvi
1	p1	v1	lnp1	lnv1
2	p2	v2	lnp2	lnv2
…	…	…	…	…
N	pN	vN	lnpN	lnvN

n=tgα

Рис. Пример определения показателя политропы.

Если все точки не укладываются удовлетворительно на одну прямую, то применяется метод линейно-кусочной аппроксимации, когда показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.

lnp

. N

.2 . 9

. 4

.1 . 8

. 5

. 6 . 7

ln v

Рис. Пример определения показателей политропы для отдельных участков

участков .

участков .

В этом случае реальный процесс рассчитывается также по уравнению pvⁿ = const , но с разными значениями показателя политропы ( n₁, n₂, n₃ и т.д.) для отдельных участков. Значения работы А, теплоты Q, внутренней энергии U, найденные на отдельных участках процессов, затем суммируются.

Метод определения показателя политропы по двум точкам.

В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса или когда из всего процесса известны только две его точки, можно воспользоваться методом определения показателя политропы по двум точкам.

P, Па

Реальный прпроцесс

1

Р₁

Политропный процесс pvⁿ =const

Р₂ 2

V₁ V₂ V, м³/кг

рис.15. Иллюстрация к методу определения показателя политропы по двум точкам

Уравнение политропы для двух точек реального процесса в pv-координатах имеет вид:

p₁v₁ⁿ = p₂v₂ⁿ ;

Логарифмируя это уравнение и приводя подобные члены, получим формулу для вычисления

показателя политропы по двум точкам:

В политропном процессе газ считается идеальным.

Так как основное уравнение политропы pvⁿ=const по форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газа pv^k=const (уравнением Пуассона), то можно по аналогии с другими уравнениями Пуассона записать еще два уравнения политропы:

Эти два уравнения можно также использовать для определения показателя политропы обоими методами.