§18. Сферические координаты

П усть в плоскости α заданы точка 0 и ось ОХ. Проведем ось OZ

перпендикулярно плоскости α и для произвольной точки М пространства обозначим через М₁ ее ортогональную проекцию на плоскость α (Рис. 30). Введем следующие обозначения:r-расстояние от точки М до точки 0; θ-

- угол между осью OZ и ; φ

угол между осью ОХ и ₁ в положительном направлении. Тогда числа r, φ, θ называются сферическими координатами точки М, причем φ назы-

Рис.30

38

вается широтой, а θ - долготой. Сферические координаты изменяются в следующих пределах: . Установим связь между сферическими и прямоугольными координатами. Для этого расположим оси декартовой системы OXYZ так. как указано на рис. 30. Тогда

x=OM₁cosφ=Omsinθcosφ, y=OM₁sinφ=OMsinθsinφ.

Следовательно,

х=rsinθcosφ; у=rsinθslnφ; z=rcosθ. (1.44)

Отметим, что наименование "сферические координаты" связано с тем, что все точки пространства, которые имеют одно и то же значение координаты r, расположены на сфере.

§19. Преобразование координат

Пусть даны две афинные системы координат (0, , ) и

( О', ', '), которые будем называть соответственно "старой" и "новой" (Рис. 31). Пусть относительно старой системы координат заданы координаты точки О' и векторов 'и ':0'(α₁,α₂)

'(α₁₁,α₂₁), =(α₁₂,α₂₂).ПустьМ -

произвольная точка плоскости, которая в старой и новой системе координат имеет соответственно координаты (х,у) и (x',у'). Тогда у старой и новой системе координат имеет

Рис.31

'=α₁₁ +α₂₁ , '=α₁₂ +α₂₂

(1.45)

Наша задача состоит в том, чтобы, зная новые координаты точки

39

М, найти ее старые координаты. Так как , то из (1.45) получаем:

x +y =α₁ +α₂ +x'(α₁₁ +α₂₁ )+y'(α₁₂ +α₂₂ )=

=(α₁₁x'+α₁₂y'+α₁) +(α₂₁x'+α₂₂y'+α₂)

Таким образом, в силу теоремы 1.7

x=α₁₁x'+α₁₂y'+α₁,

(1.46)

y=α₂₁x'+α₂₂y'+α₂.

- Формулы преобразования афинных координат, выражающие старые координаты (х,у) точки М через ее новые координаты (х',у').

Так как понятие старой и новой систем нами выбраны' совершенно произвольно, то. очевидно, аналогичные формулы имеют место при выражении новых координат через старые:

x'=β₁₁x+β₁₂y+β₁,

(1.47)

y'=β₂₁x+β₂₂y+β₂.

где относительно новой системы координат заданы координаты

точки О и векторов , :

0(β₁,β₂), =(β₁₁,β₂₁), =(β₁₂,β₂₂)

Пусть кроме точки М задана еще и точка N, где (х₁,у₁) и

(х'₁,у'₁) - соответственно ее старые и новые координаты. Ms (1.46) следует, что

x₁=α₁₁x'₁+α₁₂y'₁+α₁,

(1.48)

y₁=α₂₁x'₁+α₂₂y'₁+α₂.

Обозначим координаты вектора в старой и новой системах

40

координат соответственно (X,У) и (X',Y'). Тогда

Х=х₁-х, У=y₁-у, X'=х'₁-x', Y'=у'₁-у₁.

Вычтем из равенств (1.48) соответствующие равенства (1.46). получим:

X=α₁₁X'+α₁₂Y',

(1.49)

Y=α₂₁X'+α₂₂Y'.

-формулы преобразования координат вектора.

Очевидно, что аналогичным образом находятся формулы преобразования афинных координат в пространстве.

Пусть (0, , , ) и (0', ', ', ') - соответственно старая и новая афинная системы координат. Введем координата точки О' и векторов ', ', ' относительно старой системы координат:

О'(α₁,α₂,α₃), '=(α₁₁,α₂₁,α₃₁), =(α₁₂,α₂₂,α₃₂),

=(α₁₃,α₂₃,α₃₃).

Тогда формулы, выражающие старые координаты х, у, z произвольной точки М пространства через ее новые координаты х', у', z', имеют вид:

x=α₁₁x'+α₁₂y'+α₁₃z'+α₁,

y=α₂₁x'+α₂₂y'+α₂₃z'+α₂, (1.50)

z=α₃₁x'+α₃₂y'+α₃₃z'+α₃.

Аналогичным образом выражаются и координаты вектора:

X=α₁₁X'+α₁₂Y'+α₁₃Z',

Y=α₂₁X'+α₂₂Y'+α₂₃Z', (1.51)

Z=α₃₁X'+α₃₂Y'+α₃₃Z'.

41