§5. Векторное произведение двух векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если при приведении их к общему началу поворот от вектора к вектору по кратчайшему пути виден с конца вектора против часовой стрелки (Рис.15,а). Если же такой поворот осуществляется по часовой строже, то вектора , , образуют левую тройку векторов (Рис.15,б).

в)

Рис.15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый х и удовлетворяющий сле-

16

дущим условиям:

1) | |=| || ||sin( ^, );

2) ┴ , ┴ ;

3)векторы , , образуют правую тройку векторов.

В дальнейшем окажется полезным следующий способ построения векторного произведения вектора на единичный вектор (т.е. | |=1).

Обозначим , ,φ= ( ) (Рис.16). Проведем через точку О плоскость и обозначим ортогональную проекцию вектора на плоскость α. По

Рис.16 вернем вектор

в плоскости α на угол π/2 вокруг точки точки 0 по часовой стрелке, если смотреть из точки С. Получим вектор . Тогда

Кроме того, направления и совпадают. Следовательно,

= . (1.6).

Свойства векторного произведения

1) (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух

векторов) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, -

когда х = .

Доказательство. Достаточность. Пусть х = . Если = либо = , то || . Если | х |= , то sin( ^, )=0,

значит, || = .

17

Необходимость. Пусть || , тогда sin( ^, )=0, то есть

x = .

2) (геометрический смысл векторного произведения) число

| x |равно площади параллелограмма, построенного на неколли неарных векторах а и 8, приведенных к общему началу.

Д ействительно, пусть = , = (Рис.17) Тогда S_OACB =| || |sin( ^, )=| x |.

3) x =- x , (антикоммутативность).

Доказательство следует из определения.

4. (λ )x =λ( x ),

Рис.17

Доказательство очевидно, в случае, когда либо λ=0, либо || . Пусть λ 0 и не коллинеарно . Обозначим φ=sin( ^, ). Тогда |λ( x )|=|λ|| || |sinφ. Если λ>0, то |(λ )х |=|λ || |sin(λ ^, )=|λ| || |sinφ. Если λ<0. то

|(λ )х |=|λ || |sin(п-φ)=|λ|| || |sinφ.

Итак, векторы, стоящие в обеих частях равенства 4), имеют одинаковые длины. Покажем, что эти векторы одинаково направлены. Заметим, что эти векторы коллинеарны, так как каждый из них ортогонален векторам и . Очевидно, что если λ>0, то векторы λ( х ) и (λ )х одинаково направлены с вектором х . Если же λ<0, то эти векторы направлены противоположно вектору х , т.е. имеют одинаковое направление.

5. х(λ )=λ( х ).

Действительно, из 3) и 4) следует, что

х(λ )=-(λ )х =-λ( х )=λ( х )

6. ( + )х = х + х (дистрибутивность).

Доказательство. Покажем вначале, что

(*)

18

где . Обозначим и

проведем плоскость (Рис.18). Обозначим через и ортогональные проекции векторов и на плоскость α Повернем теперь на угол π/2 в плоскости α вокруг точки О по часовой стрелке, если смотреть из точки С. Получим .

Т огда . Из равенства (1.6) следует, что = ; ; = ,т.е. равенство (*) доказано. Умножая теперь обе части равенства (*) на число | | и применяя свойство 5), получаем требуемое равенство.

7. х( - )= х + х (дистрибутивность).

Рис.18

Действительно.

х( + )=-( - )х =-(( х )+( х ))=

= х + х .