§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
Пусть даны векторы ={x1,y1,z1) и =(х2,у2,z2) в афинной системе координат (0, , , ). Тогда
=(x1
+y1
+z1
)+(x2
+y2
+z2
)=
=(x1+x2) +(y1+y2) +(z1+z2) .
Следовательно,
=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (1.20)
Аналогично,
=(х1-х2,у1-у2,z1-z2)
(1.21)
Если \ - произвольное действительное число, то
λ =λ(x1 +y1 +z1 )=λx1 +λy1 +λz1 т.е.
λ =(λx1,λy1,λz1) (1.22)
ВЫВОД: линейные операции над векторами в координатной форме
годятся к линейным операциям над числами.
Решим следующую задачу. Пусть даны точки А(х1,у1,z1) и
30
В
(х2,у2,z2),и
точка М(х,у,z)
делит отрезок АВ в отношении λ, т.е.
AM/MB=λ, (Рис. 25). Тогда
=(х-х1,у-у1,z-z1),
=
(х2-х,у2-у,z2-z). Так как || то =λ . Следовательно, х-х1=λ(х2-x), y-y2=λ(у2-у),
z-z1=λ(z2-z). Из первого равенства следует, что х-х1--λx2+λx=0
Рис.25
(1.23)
Аналогичным образом получаем:
(1.24)
Формулы (1.23) и (1.24) называются формулами деления отрезка в заданном отношении. В частности, если AM = MB, т.е. λ=1. то
(1.25)
формулы деления отрезка пополам.
§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:
=(х1,у1,z1), =(х2,у2,z2). Найдем скалярное произведение
31
=
2=1;
=0;
=0;
=0; 2=0; =0;
=0; =0; 2=1.
Тогда, испол1>зуя свойства скалярного произведения векторов (теорема 1.3), получаем.
=(x1
+y1
+z1
)(x2
+y2
+z2
)
x1x2+y1y2+z1z2. (1.26)
В частности
(1.27)
Если даны точки А(х1,у1,z1) и В(х2,у2,z2), то. как известно, =(x2-х1,y2-у1,z2-z1) и значит.
(1.28)
Так как , то
(1.29)
Наконец,
из теоремы 1.3 следует, что
тогда и только тогда, когда выполняется
равенство:
X1x2+y1y2+z1z2=0 (1.30)
32
§13. Определители второго и третьего порядков
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:
(1.31)
называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента аij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:
Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:
(1.32)
Для матрицы А третьего порядка, где
ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:
Δ=а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32-
-а13а22а31-а11а23а32-а12а21а33. (1.33)
33
Ч
тобы
запомнить, какие произведения в правой
части равенства (1.33) берутся со знаком
"+", а какие со знаком "-", полезно
использовать следующее правило
треугольников (Рис. 26):
Рис. 26
Часто оказывается полезным тот факт, что вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. А именно.
=
(1.34)
Равенство (1.34) называется разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.