§6. Нормальное уравнение прямой.

Пусть задана прямая l и пусть -единичный вектор нормали

к прямой l т.е. нормальный вектор к l единичной длины. Проведем из начала координат (Рис.42). Тогда

=(cosα,sinα), где α=а( ^,ОХ).

Возьмем на прямой l произвольную точку М(х,у) и обозначим через радиус-

вектор этой точки. Тогда , где р - длина перпендикуляра OD, т.е. р -расстояние от начала координат до прямой 1. Из определения скалярного произведения векторов следует, что

Рис. 42

57

следовательно

(2.26)

- нормальное векторное уравнение прямой. Если теперь уравнение (2.26) записать в координатной форме, то получим

xcosα+ysinα-р=О (2.27)

- нормальное уравнение прямой.

Заметим, что условиями "нормальности" уравнения является:

1) cos² α+sin²α=1; 2) р 0; 3) наличие знака "минус" перед свободysм членом.

ПРИМЕР 2.5. Найти расстояние от начала координат до прямой 6х-8у+25=0.

РЕШЕНИЕ. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Для этого обе части уравнения разделим на нормирующий -множитель такой, чтобы сумма квадратов коэффициентов при неизвестных х и у была равна 1. Получим

, т.е.

Теперь осталось только обе часта полученного уравнения умножить не -1. Получим нормальное уравнение прямой

Итак, расстояние р=2,5.

§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l₁ и l₂. (Рис. 43) своими общими урав-

58

неними вида (2.18). Обозначим: = =(А₁,B₁), =(А₂,В₂) - нормальные векторы этих прямых; к₁=tgα₁, к₂=tgα₂ - угловые коэффициенты прямых (если они существуют); =(m₁,n₁), (m₂,n₂) - направляющие векторы прямых. Тогда, как следует из теоремы 2.2, прямые l₁ и l₂ параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из сдедующих условий:

Рис.43

либо , либо k₁=к₂, либо .

П усть теперь прямые l₁ и l₂ перпендикулярны (Рис., 44). Тогда, очевидно, , т.е.

А₁А₂+В₁В₂=0. (;8J?8)

Если прямые l₁ и l₂ заданы соответственно уравнениями l₁:у=k₁x+ b₁,l₂:у=k₂x+b₂, то tgα₂=tg(90º+α) =

Отсюда следует, что

(2.29)

Рис.44

Наконец, если - и направляющие векторы прямых, то ┴ , т.е.

M₁m₁+n₁n₂=0 (2.30)

Соотношения (2.28) - {2.30) выражают необходимое и достаточ-

ное условие перпендикулярности двух плоскостей.

ПРИМЕР 2.6. Составить уравнение прямой l₂, параллельной,

59

п рямой l₂: 2х+5у-1=0 к отсекающей от правого координатною угла треугольник ОАВ, площадь которого равна 5(Рис.45) РИШЕНИЕ. Так как l₂||l₁ то уравнение l₂ имеет вид l₂:2x+5у+С=0. S_OAB=1/2*OAOB=5. Приведем уравнение l₂ к уравнению в отрезках. Получим:

. Следовательно,

1/2(-c/2)(-c/5).

Отсюда С= О, и так как а>0,b>О, то С =-10. Итак, 2x+5у-10=0-искомое уравнение прямой.

Рис.45

ПРИМЕР 2.7. Найти проекцию точки Р(-8,12) на прямую, проходящую через точки А(2,-3) и В(-5,1).

РЕЖЕНИЕ" Найдем уравнение прямой АВ;

АВ: (x-2)/(-5-2)=(y+3)/(1+3), т.е.

4x+7у+13=0

Проекцией точки Р на прямую АВ является основание Q перпендикуляра PQ, проведенного из точки Р на прямую АВ (Рис. 46). Согласно условий перпендикулярности двух прямых k_PQ=-1/k_AB=7/4 Тогда уравнение прямой PQ примет вид:

PQ: у-12=7/4(х+8), т.е. 7х-4у+104=0.

Рис.46

Теперь координаты точки Q находим из системы

Решая ее, получаем х=-12, у=5, Итак, Q(-12, 5) - проекция

точки Р на АВ.

60