§7. Пучок и связка плоскостей
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.
71
Пусть в афинной системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α1 и α2 своими уравнения вида (3.9) и (3.10) соответственно.
ТЕОРЕМА 3.3. Уравнение вида
α(А1х+B1у+C1z+D1)+β(А2х+В2у+C2z+D2)=0. (3.11)
где α и β - некоторые действительные числа одновременно не равные нулю, задает некоторую плоскость пучка, определяемую плоскостями α1 и α2. Обратно, любая плоскость пучка задается уравнением вида (3.11) при некоторых действительных числах α и β одновременно не равных нулю.
Доказательство проводится аналогично, как и для случая пучка прямых.
Если, например, α 0, то, деля обе части (2.11) на α и обозначая β/α=λ, получаем следующее уравнение пучка плоскостей;
А1х+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0. (3.12)
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0(x0,y0,z0)-центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид
А(х-x0)+В(у-y0)+С(z-z0)=0, (3.13)
где А, В и С - произвольные действительные числа, одновременно не равны нулю.
ПРИМЕР 3.1. Составить уравнение плоскости, проходящей череэ точку Р(1,2,3) и прямую, определяемую плоскостями
2х+Зу-z+1=0, х+у-2z-3=0.
РЕШЕНИЕ. Составляем уравнение пучка
2х+Зу-z+1+λ(x+y-2z-3)=0. (*)
Так как искомая плоскость проходит через точку Р, то, подставляя координаты точки Р в уравнение(*),найдем значение λ=1
72
Итак, искомое уравнение имеет вид
2x+Зу-z+1+х+у-2z-3=0, т.е. Зх+4у-3z-2=0.
§8. Угол между двумя плоскостями
Пусть
даны плоскости α1
и α2 своими уравнениями
вида (3.9) и (3.10)
соответственно. Тогда под углом между
плоскостями α1 и α2 понимают
наименьший угол, на который надо повернуть
одну из плоскостей до ее совпадения с
другой плоскостью. Поэтому, если φ - угол
между плоскостями α1 и α2,
то
.
Очевидно, что либо φ=(
^,
),
либо φ= (-
^,
),
где
и
- нормальные векторы плоскостей α1
и α2 соответственно. В любом случае
(3.14)
В частности, если φ=π/2, то
А1A2+В1B2+С1C2=0 (3.15)
- условие перпендикулярности двух плоскостей.
73
IV прямая в пространстве.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§1. Уравнение прямой в пространстве
Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений
(4.1)
- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.
Ясно, что любая система вида (4.1), с непропорциональными коэффициентами при неизвестных, определяет в пространстве некоторую прямую.
Пусть l-прямая. Тогда ее положение в пространстве одно
з
начно
определяется заданием ее направляющего
вектора
=(m,n,р)
и точкой М0(х0,у0,z0),
через которую прямая проходит (Рис. 58).
Возьмем произвольную точку М(х,у,z)
l.
Тогда
и, значит,
(4.2)
Очевидно, что равенство (4.2) выполняется тогда и только тогда, когда точка М l, т.е. равенство (4.2) является уравнением прямой в векторной форме. Переходя к координатам, получим
74
x-x0=tm
y-y0=tn (4.3)
z-z0=tp
параметрические уравнение прямой, проходящей через точку
M0(x0,y0,z0) параллельно вектору =(m,n,р). Выражая параметр t, в (4.3), получим
(4.4)
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0 y0,z0) параллельно вектору =(m,m,р).
Уравнение (4.4) можно записать, например, в виде следующей системы
(4.5)
Тем самым прямая l представляется как линия пересечения двух плоскостей, параллельных соответственно оси OZ и оси ОУ.
Прямая однозначно определена, если известны две точки чере( которые она проходит. Пусть M1{x1,у1,z1) l и М2(х2,у2,z2) l. Тогда в качестве направляющего вектора прямой l можно взять
вектор =(х2-х1,у2-у1,z2-z1). Уравнение (4.4) в этом
случае примет вид
(4.6)
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Решим задачу приведения общего уравнения прямой к каноничес-
7
5
кому виду. Обозначим 1=(А1,В1,С1)
2=(А2,В2,С2) - нормальные векторы соответственно плоскостей α1 и α2
(Рис. 59). Очевидно, что 1 ┴l и
2┴l. Следовательно, вектор = x
коллинеарен прямой l и его можно взять в качестве наиравлявдего вектора прямой l. Из (1.37) следует, что
Беря произвольную точку М0(х0,у0,z0), удовлетворяющую системе (4.1), окончательно получаем
(4.7)
- каноническое уравнение прямой.
ПРИМЕР 4.1. Привести к каноническому виду уравнение прямой
РЕШЕНИЕ. Найдем направляющий вектор а прямой.
Найдем точку, принадлежащую прямой. Пусть, например, z=0, тогда легко видеть, что х=-1, у=-1. Следовательно,
-
искомое уравнение прямой.
76