§ 2. Линейные операции над векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой + векторов и называется век-

тор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают (Рис.3). Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать. пользуясь правилом параллелограмма (Рис.4).

Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор (Рис.5).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью векторов и называется такой вектор = - , что выполняется равенство: + = (Рис.6).

8

Рис.5 Рис.6

Легко показать, что для любого вектора , существует такой

единственный вектор , называемый противоположным вектору

что + = . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать - .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора на число λ(λ 0) называется вектор =λ , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и про- тивоположно направлены, если λ<0;

2) | |=|λ|| |.

По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0 = .

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1. сложение векторов коммутативно:

+ = + , , , ;

2) сложение векторов ассоциативно:

( + )+ = +( + ) , , , ;

3) + = , ;

4) +(- )=0, ;

5) умножение вектора на число ассоциативно:

α (β )=(αβ) , α, β R;

6) 1 = , ;

7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к

9

сложению чисел:

( α+β) =α +β , , α, β R;

8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:

α ( + )=α +α , , , α R;

Докажем, например, свойства 1),7),8).

Свойство 1) следует из правила сложения векторов.

Свойство 7) очевидно для случая, когда либо = , либо

α+β=0, либо одно из чисел α или β равно 0. Рассмотрим следующие два возможных случая.

а) числа α и β имеют одинаковые знаки. Тогда векторы (α+β) и α +β одинаково направлены. Осталось показать, что модули этих векторов равны. Действительно,

|α +β |=|α |+|β |=|α|| |+|β|| |=(|α|+|β|)| |=

|α+β|| |=|(α+β) |

б) числа α и β имеют противоположные знаки и пусть, например. |α|>|β|. Тогда легко проверить, что числа α+β и -β имеют одинаковые знаки. В силу случая а) получаем:

(α+β) +(-β) =(α+β-β) =α , т.е. (α+β) =α +β

Свойство доказано.

Свойство 8) очевидвно, если либо α=0, либо + =0, либо один из векторов или - нулевой. Рассмотрим следующие два случая.

а)α>0 и векторы и -неколлинеарны. Построим(Рис.7) = = , тогда = + . Далее строим =α и =α . Так как треугольники ОАВ и ОА₁В₁ подобны, то А₁В₁=|α|АВ. Но вектора и одинаково направлены, следовательно, =α =α . Итак, , т.е. α +α =α( + ).

1 0

Рис.7 Рис.8

б) Пусть теперь α>0 и || . Построим (Рис.8) = ,

= . Возьмем произвольную точку S, не лежащую на прямой 0В и на луче SO, возьмем такую точку 0₁, что SO₁=αSO. Проводим

О₁В₁||0В и строим лучи SA₁ и SB₁. Так как три пары треугольников SOA и SO₁A₁, SAB и SА₁B₁, SOB и S0₁B₁ подобны, то

O₁A₁=|α|ОА, А₁B₁=|α|АВ, О₁B₁=|α|ОВ.

Обозначим векторы . Тогда ,

и так как , то

α +α =α( + ).

В случае, когда α<0, доказательство пунктов а) и б) про-водится аналогично.

Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1-8. называется линейным или векторным пространством и обозначается R³ (R²).

ТЕОРЕМА 1.1. (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ удовлетворяющее условию:

=λ . (1.1)

11

Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны,

0. Если одинаково направлены, то и,приняв , получим равенство (1.1). Если и противоположно направлены, то и .

Достаточность. Если =λ и, то коллинеарность векторов следует непосредственно из определения операции умножения вектора на число.