§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями
Обозначим = =(х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),
(m2,n2,р2),
и рассмотрим все возможные случаи
взаимного расположения этих прямых.
1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны (Риc.60,а).
2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен (Рис.60,б).
3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов ,
77
, не коллинеарны, и все три вектора компланарны (Рис.60,в) 4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.
Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .
Следовательно,
(4.8)
необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.
M1m2+n1n2+p1p2=0 (4.9)
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,
(4.10)
ПРИМЕР 4.2. При каком значении λ пересекаются прямые
РЕШЕНИЕ. Обозначим M1(-2,0,1), М2{3,1,7). Тогда условием пересечения прямых является компланарность векторов =(2,3,4), =(0,4,2) и =(5,1,6). То есть
,
откуда λ=3.
78
§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
П
усть
требуется найти расстояние от точки
M1(x1,у1,z1)
до;
данной
прямой
,
проходящей через точку M0(х0,у0,z0) направляющим вектором = (m, n, p)
(рис.61)
следует, что
.
Так
как
,
то окончат
телыю получим
(4.11)
ПРИМЕР 4,3. Найти расстояние между параллельными прямыми
РЕШЕНИЕ. Очевидно, что искомое расстояние равно расстоянию от произвольной точки, лежащей на первой прямой, до второй прямой. Тогда, согласно (4.11), возьмем M0(-7,5,9), M 1(-12,
0,-34)
и
=(3,-1,4).
Следовательно,
(-5,-5,43),
|
|
= =
.
Нетрудно подсчитать, что
,
т.е. искомое расстояние
79
§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
Пусть плоскость α проходят через прямые l1 и l2, заданные соответственно уравнениями
, (4.12)
О
бозначим
М2(x2,y2,z2),
=(m1,n1,р1),
=(m2,n2,p2)
(Рис. 82). Возьмем произвольную точку М(х,у,z), принадлежащую плоскости α.
Тогда
векторы
и
компла-
арны, следовательно их смешанное произведение равно нулю. Итак
( , , ) = 0 (*)
и соотношению (*) удовлетворяют те и только те точки пространства, которые принадлежат α. Равенство (*) в коорди
натной форме примет вид
(4.13)
уравнение плоскости, проходящей через две прямые.
80
§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть прямые l1 и l2, заданные уравнениями вида (4.12),
являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ниш называется АЛИН перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и , и проходят соответственно через прямые l1 и l2 (Рис.63). Согласно (4.13) уравнение плоскости и имеет вид
Найдем теперь и как расстояние от точки M1(х1,у1,z1) до
плоскости α2. По формуле (3.8)
(4.14)
Заметим, что (4.14) можно записать в равносильной форме так;
(4.15)
81
ПРИМЕР 4.4. Найти расстояние между прямыми
РЕШЕНИЕ. Обозначим =(-28,1,-5), =(3,4,-2), = (6,-4,-1) Тогда
следовательно, прямые l1 и l2 являются скрещивающимися. Нетрудно подсчитать, что
Значит, d = 507/39=13.