§ 3. Проекции

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α (Рис.9) и обозначим точку пересечения плоскости α'c осью l через А₁. Тогда точка А₁ называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α┴l, то проекция называется прямоугольной или ортогональной.

Рис.9 Рис.10

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А₁ и В₁ точек А и В на ось l относительно плоскости α (Рис.10).

12

Тогда вектор АД называется проекцией вектора АВ на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось относительно плоскости α называется число, равное:

а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) -| |. если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Пр_l , а для ортогональной проекции использовать обозначение пр_l .

П усть α - некоторая плоскость и l - прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l₁ || l и обозначим точку пересечения прямой l₁ с плоскостью α через А₁ (Рис.11). Точка А₁ называется проекцией точки А на плоскость α относительно прямой l.

Рис.11

Если прямая l┴α, то проекция называется прямоугольной или ортогональной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать оответственно: ( ), ( ), ( ).

ТЕОРЕМА 1.2. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2. 

13

3) .

Доказательство. 1) обозначим φ=( ) и = (Рис.12). Тогда если φ π/2-то по определению пр_l =| |=| |соsφ Если же π/2<φ π, то пр_l =| |= соs{π-φ)=-| |cosφ

2) пусть λ>0. Обозначим = , =λ (Рис.13). Тогда

и - проекции соответственно векторов и на ось l. Из подобия треугольников ОАА₁ и 0BB₁ следует, что =λ ,

Значит ,Пр₁λ =λПр_l . Аналогичным образом рассматривается случай когда λ<0.

3)обозначим , и (Рис.14). Тогда , и - проекции соответственно векторов , и + на ось l. Отсюда сразу следует, что Пр_l( + )=

Пр_l +Пр_l .

Рис.14

14

§ 4. Скалярное произведение векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением векторов и называется число (которое обозначается ), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

. (1.2)

Из 1) теорема 1.2 сразу следует, что

. (1.3)

Так как соs0=1. то =| |². Следовательно,

, (1.4)

где выражение = ² зазывается скалярным квадратом вектора .

ТЕОРЕМА. 1.3. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) = (коммутативность);

2) λ( )=(λ ) , λ R;

3) ( + )= + (дистрибутивность).

Доказательство.1) =| || |соз( ^ )=| || |соs( ^ )=

2) пусть λ>0. Тогда

λ( )=λ| || |cos( ^, )=-|λ || |cos(λ ^, )=(λ ) .

Если λ<0, то cos( ^, )=-cos(λ ^, ). Поэтому

λ =λ| || |соs( ^, )=-|λ || |соs( ^, )=

=|λ || |cos(λ ^, )=(λ ) .

3. из теоремы 1.2 следует, что

15

Теорема доказана.

Из равенства (1.2) легко подучить формулу для нахождения угла между двумя векторами:

(1.5)

TЕOPЕMA 1.4. Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны (обозначается ┴ ). Тогда ( ^, )=π/2 и так как cos( ^, )=cosπ/2=0, то =0.

Достаточность. Пусть =0. Так как вектора и по условию ненулевые и =| || |cos( ^, )=0, то соа( ^, )=0. Т.е. ┴ . Теорема доказана.