Глава 1. Векторы и координаты
§ 1. Понятие вектора
Термин "вектор" обычно употребляется в двух смыслах. С одной сторож, вектором называют направленный отрезок. С другой стороны, вектор понимают, как понимают в физике "векторные величины" - скорость, силу и т.д. Например, с точки зрения физики
и
,задаваемые
одинаковыми
направленными отрезками (Рис.1), не равны друг другу, так как оказывают различное действие На тело F. С точки зрения геометрии векторы и не только равны, но и являются различными изображениями одного и того же алгебраи ческого вектора.
Направленным отрезком называется отрезок, у которого указана), какая точка является началом, а какая концом.
Вектором
называется направленный отрезок.
^ Векторы обычно обозначаются
следующими способами:
или
(Рис.2.а),
или а или а (Рис.2,6).
Вектор,
начало которого совпадает с
его концом, называется нулевым вектором
и обозначается
или
.
Направление нулевого вектора
Рис.2
6
не определено.
Если
заданы два ненулевых вектора
и
.
лежащих на двух различных параллельных
прямых, то через точки А и С всегда можно
провести хотя бы одну плоскость α, не
проходящую через точки В и D. Тогда
плоскость а разбивает множество всех
точек пространства, не принадлежащих
этой плоскости, на два полупространства.
Если при этом точки В и В лежат в одном
и том же полупространстве, то говорят,
что векторы
и
одинаково направлены. В противном
случае, векторы
и
называются противоположно направленными.
Если
же векторы
и
лежат на одной прямой, то они одинаково
направлены (противоположно направлена),
если существует такой третий вектор
,
который одинаково направлен (противоположно
направлен) с каждым из векторов
и
.
Абсолютной величиной или модулем (длиной) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор.
Длина вектора обозначается символом | |.
Два вектора называются равными если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину.
Равенство векторов обладает следующими свойствами:
1) для любого вектора , = (рефлексивность);
2) для любых векторов , из равенства = всегда следует = (симметричность);
3)
если
=
и
=
,
то всегда
=
(транзитивность).
Отношение равенства векторов, удовлетворяющее этим трем свойствам, называется отношением эквивалентности на множестве всех векторов пространства.
Справедлива следующая
ТЕОРЕМА. Отношение эквивалентности на множестве всех векторов разбивает это множество на попарно непересекающиеся классы.
Тогда под абстрактным вектором (в дальнейшем просто вектором) в аналитической геометрии понимается абстрактный объект,
7
совладеющий с некоторым классом эквивалентности. Это означает, что вектор связан с равными направленными отрезками таким образом, что каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением данного вектора, а неравные направленные отрезки изображают разные векторы.
Векторы и называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается || ).
Три и более векторов называются компланарными если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.