§8. Координаты на прямой

Прямая l, на которой задана точка 0. называемая началом ко-ординат, задан единичный вектор , называемый ортом, называется координатной осью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

линеарен вектору и, значит, . Вектор называется радиус-вектором точки М, а число х называется координатой точки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается: =(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на оси l поставлено в соответствие вполне определенное действительное число - ее координата.

О братно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, коорди ната которой равна х (Рис. 22). Таким образом, положение любой -точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

Рис.22

26

§9. Координаты на плоскости

Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с

н еколлинеарными ортами c cоо тветственно (Рис. 23). Тогда тройка (О, , ) называется афинным репером или афинной системой координат плоскости α.

Точка 0 называется началом ко оpдинат, векторы и - базисными векторами. Если М - произвольная точка на плоскости α, то из теоремы 1.7 следует, что

Рис. 23

Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, , ), причем х называется абсциссой, а у - ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называется радиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора ОМ (записывается:ОМ=(х,у)).

Афинная система координат (0, , ) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью координат.

Так как векторы и являются проекциями соответственно на оси ОХ и OY, то из теоремы 1.2 следует

ТЕОРЕМА 1.11. Пусть = , где

. Тогда

(1.14)

(1.15)

27

Доказательство.

Аналогичным образом доказывается равенство (1.15).

СЛЕДСТВЙЕ 1. Пусть даны точки А(х₁,y₁) и В(х₂,у₂). Тогда

(1.16)

Доказательство. Очевидно, что (Рис. 24). Так

Рис.24

как =(х₁,у₂) и =(х₂,у₂), то из теоремы 1.11 следует требуемое равенство (1.16).

СЛЕДСТВИЕ 2. Два вектора =(х₁,у₁) и =(х₂,у₁) коллине арны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Доказательство. По теореме 1.1 , где . Тогда из теоремы 1.11 следует, что х₂=λx₁ и у₂=λy₁ , т.е.

(1.17)

Афинная система координат (0, , ). в которой орты и взаимно ортогональны, называется декартовой или прямоугольной

системой координат. В этом случае орты и обозначаются соответственно и .

28

§10. Координаты в пространстве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

=x +y +z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М(х,у,z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z(записывается: ОМ = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами. Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

Как и для случая плоскости в пространстве имеет место аналог теоремы 1.11. В частности, если даны точки А(х₁,у₁,z₁) В(х₂,у₂,z₂), то

(1.18)

29

Векторы =(х₁,у₁,z₁) и =(х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

(1.19)