§6. Смешанное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением векторов , , на- зывается число, равное ( х ) и обозначается .

Свойства смешанного произведения

1) число | | равно объему параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах , , , приведенных к общему началу. В этом состоит геометрический смысл смешанного произведения.

Доказательство. Обозначим и отложим

19

о т точки 0 единичный вектор

= такой, что , (Рис.19). Очевидно, что V=Sh, где S - площадь параллелограм

ма, h - высота параллелепипеда. С другой стороны, . Следовательно, =( х ) =

Рис.19

2) (необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы комп-

ланарны. Тогда либо х = , либо ( х )┴ . Значит, ( х ) =0.

Достаточность. Пусть =0 и предположим, что векторы , некомпланарны. Тогда из свойства 1) следует, что существует параллелепипед, построенный на этих векторах, с объемом равным 0. Противоречие. Тем самым свойство доказано.

3) ( х ) = ( х )

Доказательство. Пусть векторы , , некомпланарны. Так как ( x )=( x ) , то из свойства 1) следует, что |( x ) |=| ( x )|, как объем параллелепипеда, построенного на векторах , , . Если тройка , , - правая, то правой будет и тройка , , . Если же тройка , , левая, то левой будет и тройка , , . В этом случае равенство 3) доказано.

Пусть векторы , , компланарны. Тогда обе части равенства равны нулю.

4) Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке множителей, т.е.

20

= = .

Доказательство. Если векторы , , компланарны, то равенство очевидно. Если же векторы , , некомпланарны и образуют правую (левую) тройку векторов, то и векторы , , и , , также образуют правую (левую) трoйку векторов. Теперь из свойства 1) следует требуемое равенство.

§7. Линейная зависимость векторов

Пусть дана система векторов

(1.7)

и α₁, α₂,...α_n - действительные числа. Тогда векторы вида

(1.8)

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1.7).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов (1.7) называется линейно зави-симой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

= (1.9)

и хотя бы одно из чисел .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система (1.7) называется линейно независимой, если равенство (1.9) возможно тогда и только тогда, когда все числа α_i=0.

Часто в дальнейшем слово "система" будем опускать и говорить о линейно зависимых или линейно независимых векторах.

ОПHTДЕЛЕНМЕ. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1.7), т.е.

= , (1.10)

21

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1.7).

ТЕОРЕМА 1.5. Для того чтобы векторы системы (1.7) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (1.7) линейно зависима и пусть, например, . Тогда из равенства (1.9) следует, что

Следовательно,

т.е. линейно выражается через векторы .

Достаточность. Пусть, например,

Тогда

т.е. система (1.7) линейно зависима. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Если векторы системы (1.7) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

ТЕОРЕМА 1.6. Для того чтобы два вектора были линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , - линей

но зависимы. Тогда, в силу теоремы 1.5. можно считать, например,

22

что . Следовательно, по теореме 1.1 эти векторы коллинеарны.

Достаточность. Пусть || . По теореме 1.1 =λ .

т.е. 1 +(-λ) = . Это и означает линейную зависимость век-торов и .

СЛЕДСТВИЕ. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

ТЕОРЕМА 1.7. Любой вектор на плоскости можно разложить сто любым двум неколлинеарным векторам и этой плоскости, т.е. представить в виде:

(1.11)

причем это разложение единственно.

Доказательство. Обозначим , и

(Рис. 20) и построим параллелограмм ОМ₂МM₁ Так как || , и || . то и . Следовательно,

Докажем единственность разложения (1.11). Предположим противное, т.е. пусть имеется еще одно разложение:

Рис.20

. (1.12)

Вычтем из равенства (1.11) равенство (1.12), получим:

Но векторы и линейно независимы, значит,

22

α₁-β₁=0, α₂-β₂=0, т.е. α₁=β₁, α₂=β₂.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 1.8. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , и линейно зависимы. Тогда, в силу теоремы 1.5, можно считать, например, что =α₁ +α₂ . Если || , то векторы и

лежат на некоторой прямой, значит, и вектор лежит на этой же прямой, иначе эти векторы лежат в некоторой плоскости α

и, значит, вектор также лежит в плоскости α. Итак, векторы , и компланарны.

Достаточность. Пусть векторы , и компланарны. Если какие-либо два из них, например, и , неколлинеарны. то по теореме 1.7 =α₁ +α₁ . Значит, в силу теоремы 1.5, векторы , и линейно зависимы. Пусть теперь любые два вектора коллинеарпы. Тогда, например, =α . Следовательно,

=α +0 .

В силу теоремы 1.5, это означает линейную зависимость векторов , и Тeoрeмa доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

ТЕОРЕМА 1.9. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам , и , т.е. представить в виде:

(1.13)

причем это разложение единственно.

Доказательство. Обозначим

2 4

= (Рис.21).Построим проекции М₁, М₂ и М₃ точки М на оси , и соответственно параллельно плоскостям ОЕ₂Е₃ и ОЕ₁Е₃, ОЕ₁Е₂. Тогда = + + векторы и коллинеарны для любого i= 1,2,3. , . . Тем самим разложение (1.13) получено. Единственноcть разложения (1.13)

Рис.21

доказывается аналогично, как и в теореме 1.7. Теорема доказана.

TEOPEМA 1.10. Любые четыре вектора линейно зависимы, Доказательство. Предположим, что среди векторов

, , , (*)

есть тройка линейно независимых, например, , , . Тогда векторы , , . Некомпланарны и по теореме 1.9 =α₁ + +α₂ +α₃ . Следовательно, в силу теоремы 1.5 векторы (*) линейно зависимы. Таким образом, осталось предположить, что любая тройка векторов системы (*) линейно зависима, например, . По определению это означает, что

м хотя бы одно из чисел . Значит,

,

т.е. векторы системы (*) линейно зависимы. Теорема доказана

25

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно- независимых вектора и (любые три линейно независимых вектора , и ) образуют на этой. плоскости (в пространстве) базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации ректоров и ( , , ).

Приведенные выше результаты позволяют сформулировать следующие фундаментальные утверждения:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис па этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.