Тема 2.6. Основи фінансово-економічних розрахунків (фінансової математики)

З теми планується дві лекції та одне практичне заняття. Отже значну частину питань студенти розглянуть самостійно.

Питання для обговорення на практичному занятті:

1. Поняття відсотків і відсоткових ставок.

2. Нарощення за простими і складними відсотками.

3. Дисконтування та облік.

4. Еквівалентність ставок.

Питання для самостійної підготовки

1. Час як фактор вартості.

2. Види відсотків і відсоткових ставок.

3. Номінальна і ефективна ставки відсотків.

4. Порівняння інтенсивності процесів нарощення і дисконтування за різними відсотковими ставками.

Література: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12.

Термінологічний словник

Відсотки, або процентні гроші - абсолютна сума доходу від надання грошей у борг.

Відсоткові ставки - відносна величина доходу за фік­сований проміжок часу до суми боргу.

Період нарахування - фіксований період часу, за який нара­ховуються відсотки.

Нарощення - процес приєднання відсотків до початкової суми боргу.

Дисконтування - визначення початкової суми по відомій наро­щеній сумі.

Еквівалентні ставки – різнорідні види ставок, які призводять до одного й того результату у різних фінансових операціях.

Методичні рекомендації до самостійного вивчення теми

Суттю фінансово-економічних розрахунків (названих у спеці­аль­ній літературі також вищими фінансовими обчисленнями або фінан­со­вою математикою) є застосування методів кількісного фінансового ана­лізу для оцінки умов і результатів фінансових операцій.

Для оволодіння методикою фінансово-економічних розрахунків сту­дентові необхідно розібратися в основних поняттях, прийнятих у фінансових обчисленнях.

Гроші в борг можуть бути надані в різних формах: грошова по­зичка, продаж товару в кредит, розміщення на депозитному рахунку, придбання векселя, ощадного сертифіката, облігації та ін.

Будь-яка фінансова угода, крім визначення таких кількісних ха­рак­теристик як сума угоди, величина доходу або розмір процентних ста­вок, повинна обов’язково враховувати фактор часу. Необхідність вра­хування часових параметрів обумовлена принципом нерівноцінності грошей, що відносяться до різних моментів часу. Зміна вартості гро­шей у часі пов’язана з інфляцією, ризиками, можливістю їхнього ін­вестування на різних умовах та ін. Врахування фактора часу у фінан­совій сфері здійснюється за допомогою відсотків. Відсотки за весь термін позички можуть бути нараховані як од­нократно, так і багаторазово.

Процес приєднання відсотків до початкової суми боргу називають нарощенням, ростом або капіталізацією суми боргу. Визначення на­ро­щеної суми здійснюється за принципом «від сьогодення до май­бутнього», тобто нарахування здійснюється на початкову суму, тому застосовувані при цьому ставки називають ставками нарощення або просто процентними. Визначення початкової суми по відомій наро­щеній сумі називають дисконтуванням. Воно може здійснюватися як розв’язанням задачі, оберненої до нарощення, за допомогою процент­них ставок (математичне дисконтування), так і шляхом розрахунку процентних грошей за принципом «від майбутнього до сьогодення», тобто відносно нарощеної суми. У другому випадку відносна вели­чи­на доходу називається обліковою (дисконтною) ставкою, а сама про­це­дура – банківським або комерційним обліком (урахуванням векселів).

Якщо при нарахуванні відсотків постійно використовують ту саму початкову суму, то такі ставки називають простими, якщо ж суму з раніше нарахованими відсотками (нарощену) – то застосовувані став­ки називають складними.

Розмір ставки може бути постійним протягом усього терміну дії угоди (фіксовані ставки) або змінюватися в часі (плаваючі ставки). У другому випадку розмір ставки складається з базової ставки, що змі­нюється в часі, і надбавки до неї – маржі.

Розрахункові формули, що використовуються при нарахуванні відсотків, традиційно прийнято записувати в уніфікованому вигляді:

або FV=PV (. . .),

де PV – початкова сума (сучасна вартість);

FV – нарощена сума (майбутня вартість);

(. . .) – у залежності від розв’язуваної задачі множник нарощення або дисконтний множник.

Це пояснюється тим, що на практиці необхідна сума визначається множенням початкової або нарощеної суми на відповідні множники, розраховані значення яких наводяться в довідкових таблицях у спеці­альній літературі.

Величина доходу визначається як різниця (FV – PV), причому у випадку застосування процентних ставок ця різниця характеризує суму нарахованих відсотків (І ), а у випадку застосування дисконтних ставок – величину дисконту (D ). Очевидно, що I = PV · ni, а D = FVnd.

Для зручності студентів основні формули, застосовувані при нара­хуванні відсотків, узагальнені в наведених далі таблицях (2.6.1–2.6.5).

Таблиця 2.6.1. Розрахунки з застосуванням простих відсотків

Ставка		Пряма задача		Обернена задача
вид	розрахункова формула	зміст	розрахункова формула	зміст	розрахунко­ва формула
Про­цент­на		наро­щення	FV = PV(1 +ni)	матема­тичне дисконту­вання
облі­­кова		банків­ський об­лік (вра­­ху­ван­ня векселів)	PV = FV (1-nd)	нарощення

Умовні позначення:

i – процентна ставка (у вигляді десяткового дробу);

d – дисконтна ставка (у вигляді десяткового дробу);

n – період нарахування (у роках).

Таблиця 2.6.2. Розрахунки з застосуванням складних відсотків

(нарахування один раз на рік)

Ставка		Пряма задача		Обернена задача
вид	розрахункова формула	зміст	розрахункова формула	зміст	розрахункова формула
Про­цент­на		наро­щення	FV = PV (1+i)n	матема- тичне дисконту- вання
облі­кова		банків­ський облік (враху­вання векселів)	PV = FV(1-d)n	наро­щення

Так як ставка встановлюється, виходячи з річних відсотків, то при розрахунку прибутковості короткострокових фінансових операцій терміном менше року, відсотки визначаються пропорційно тривалості позики в році, тобто виходячи з того, що ,

де t – число днів позики;

k – число днів у році.

Якщо число днів у році при розрахунку приймається точним, тобто 365 (366) днів, то й обчислені відсотки називають точними, якщо ж вважають рік рівним 360 дням, то відсотки називають звичайними або комерційними. Число днів позики також може бути точним або на­ближеним (кожен місяць приймається рівним 30 дням). При будь-яко­му способі розрахунку день видачі і день погашення позики вважа­єть­ся за один день (табл. 2.6.3).

У сучасних умовах відсотки капіталізуються, як правило, не один, а кілька разів у році – по півріччях, кварталах, місяцях або днях. Сту­дентові при розрахунках варто звернути увагу, що в контрактах при цьому фіксується не ставка за період нарахування, а річна ставка з одночасним зазначенням періоду нарахування, наприклад «20 % річ­них із щоквартальним нарахуванням». У такому випадку річна ставка 20 % називається номінальною, а реальний рівень прибутковості, тоб­то відношення сукупного доходу за рік, отриманого внаслідок m-ра­зового нарахування по номінальній ставці, до суми боргу, нази­ва­ють ефективною або дійсною ставкою відсотка. Формули нарахування складних відсотків при цьому видозмінюються (табл. 2.6.4).

Таблиця 2.6.3. Варіанти нарахування відсотків

Число днів у року (к)	Число днів позики (t)
	Точне		наближене
	вид застосо­вуваних відсотків	позначення у комер­цій­них доку­ментах	вид засто­со­вуваних відсотків	позначення у комер­ційних до­­кументах
365 (366)	точні відсотки з точ­ним числом днів по­зики («англійська практика»)	365/365 або АСТ/АСТ	не застосовується	–
360	звичайні відсотки з точним числом днів позики («французька практика»)	365/360 або АСТ/360	звичайні від­сот­ки з набли­же­ним числом днів по­зики («ні­мець­ка практика»)	360/360

Таблиця 2.6.4. Розрахунки з застосуванням складних відсотків

(нарахування m раз у році)

Ставка		Пряма задача		Обернена задача
Вид	розрахункова формула	зміст	розрахункова формула	зміст	розрахункова формула
Про­цент­на		наро­­щення		матема­тичне дискон­тування
Облі­кова		банків­ський об­лік (вра­­ху­вання векселів)		наро­щення

Умовні позначення:

m – число періодів нарахування в році;

j – номінальна процентна ставка;

f – номінальна дисконтна ставка.

Учасників фінансових угод цікавлять не види ставок, зафік­сованих у контрактах, а кінцева ефективність фінансових операцій. Якщо різні види ставок в однотипних фінансових операціях у конкретних умовах угод приведуть до одного і того ж фінансового результату, то такі став­­ки називають еквівалентними.

Співвідношення еквівалентності можна визначити для будь-якої па­ри ставок, прирівнявши попарно множники нарощення або дискон­тування. Так, еквівалентність номінальної і ефективної ставок полягає в тому, що однократне нарахування по річній ставці і дає той же фінансовий результат, що і нарахування по ставці j m раз у році, а саме співвідношення одержуємо, прирівнявши:

звідки

Результати аналогічних перетворень для зручності узагальнимо в таблиці 2.6.5.

Таблиця 2.6.5. Формули еквівалентності ставок

Порівнювані ставки	Розрахункова формула
Проста процентна (is) і проста облікова (ds)
Складна процентна (i) і складна облікова (d )
Проста процентна (is) і складна процентна (i )
Проста облікова (ds) і складна облікова (d )
Номінальна (j ) і ефективна (i ) процентна	)
Номінальна (f ) і ефективна (d ) облікова	)

В умовах нестійкого кредитно-грошового ринку часто відбу­ва­ють­ся зміни рівня процентних ставок. У такому випадку множник наро­щення при використанні простих відсотків визначається як алге­бра­їч­на сума:

FV = PV(1 + n₁i₁ + n₂i₂ + . . .n_ki_k),

а при використанні складних відсотків – як добуток часткових множ­ників:

FV = PV(1 + i₁)· (1 + i₂). . . (1 + I_k).

Якщо у фінансових операціях розмір процентної ставки змінюється у часі, то всі значення ставки можна узагальнити за допомогою се­редньої ставки. Заміна всіх значень ставок середньою ставкою не по­винна змінювати результатів нарощення або дисконтування, тому роз­рахункові формули, як і у випадку еквівалентності ставок, виводять шляхом порівняння множників нарощення або дисконтування. Так, для випадку простих процентних ставок одержимо:

звідки ,

де N – загальний термін нарахування відсотків ().

Аналогічні розрахунки для простої дисконтної ставки теж приво­дять до формули середньої арифметичної , а розрахунки для складних ставок – до середньої геометричної:

.

Якщо змінюється у часі сума, на яку нараховуються відсотки (внас­лідок внесення грошей на рахунок або зняття їх з рахунку), то тради­ційна формула простих відсотків (I = PVni ) набуває вигляду:

,

де  PV_j  – залишок коштів на рахунку в момент після чергового над­ход­ження або списання коштів;

n_j – період збереження грошей (у роках) до нової зміни залишку кош­тів на рахунку ().