Инф_орматика_ и ИКТ. 10кл._п. _ред. Мак_аровой Н._В._2009--256с

Общий результат перевода:

13, 12510=1 101 ,0012 10,810=1010,(1100)2 , где в скобках указан период дроби.

Соотношение систем счисления

Наряду с двоичной системой счисления в компьютере используют­ ся еще две - восьмеричная и шестнадцатеричная. Восьмеричную и шестнадцатеричную системы называют родственными двоич­ ной, поскольку их основания являются степенями числа 2. Родст­ венными, к примеру, являются системы с основаниями З и 9.

Перевод чисел внутри родственных систем (в частности, с ос­ нованиями 2, 8 и 16) упрощен, поскольку все цифры алфавита для систем с большим основаllием можно представить совокуп­ ностью цифр системы с наименьшим основанием. Убедимся в

этом, рассмотрев табл. 1 .5. В ней приведено соотношение чисел

в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.

Таблица 1.5. Соотношение двоичной, восьмеричной,

"

шестнадцатеричнои систем счисления

Если внимательно посмотреть на столбцы 2 и 3 табл. 1 .5, то видно, что все восьмеричные цифры (от О до 7) можно записать при помощи трех двоичных разрядов. На этом основан быстрый перевод из восьмеричной системы в двоичную и наоборот.

Форматы представления чисел

Рис. 1.4. Форматы представления чисел в компьютере

Целочисленный формат (формат с фиксированной точ ­ кой) используется для представления в компьютере целых (англ. integer) положительных и отрицательных чисел. Для этого, как правило, используются форматы, кратные байту: 1 , 2, 4 байта.

Однобайтовое представление применяется только для поло­ жительных целых чисел. В этом формате отсутствует знаковый разряд. Наибольшее двоичное число, которое может быть запи­ сано при помощи 1 байта, равно 1 1 1 1 1 1 1 1 , что в десятичной сис­ теме счисления соответствует числу 25510. Поэтому, выбирая, например, для счетчика однобайтный формат, следует помнить, что такой счетчик не может принимать значения большие, чем

25510.

Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется 2 и 4 байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: О - плюс, 1 - минус.

Самое большое (по модулю) целое число со знаком, которое может поместиться в 2-байтовом формате, это число

о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ,

то есть при помощи подобного кодирования можно представить числа от -32 76810 до 32 76710•

Обратите внимание! Если число вышло за указанные гра­

ницы, произойдет переполнение! Поэтому при работе с боль­

шими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта.

Формат с плавающей точкой используется для представле­

ния в компьютере действительных чисел (англ. real). Числа с пла­

вающей точкой размещаются, как правило, в 4 или 8 байтах.

Предсrа впение цепоrо попожитепьноrо числа в компьютере

Для представления целого положительного числа в компьютере используется следующее правило:

•число переводится в двоичную систему;

•результат дополняется нулями слева в пределах выбранного

формата;

•последний разряд слева является знаковым, в положительном числе он равен О.

Например, положительное число +13510 в зависимости от фор­ мата представления в компьютере будет иметь следующий вид:

•для формата в виде 1 байта - 100001 11 (отсутствует знако­

вый разряд);

• для формата в виде 2 байтов - О 0000000 100001 1 1 ;

•для формата в виде 4 байтов -

о0000000 00000000 00000000 10000111 .

Предсrа впение цепоrо отрицатепьноrо числа в компьютере

Для представления целого отрицательного числа в компьютере

используется дополнительный код. Такое представление позво­ ляет заменить операцию вычитания числа операцией сложения

с дополнительным кодом этого числа. Знаковый разряд целых отрицательных чисел всегда равен 1 .

Для представления целого отрицательного числа в компьюте­

ре используется следующее правило:

•число без знака переводится в двоичную систему;

•результат дополняется нулями слева в пределах выбранного

формата;

•полученное число переводится в обратный код (нули заменя­

ются единицами, а единицы - нулями);

•к полученному коду прибавляется 1 .

Отрицательное число может быть представлено в виде 2 или

4байт. Например, представим ,число -13510 в 2-байтовом формате:

•13510 100001 1 1 (перевод десятичного числа без знака в дво­ ичный код);

•О 0000000 100001 11 (дополнение двоичного числа нулями

слева в пределах формата);

•О 0000000 1000011 1 1 1 1 1 1 1 1 1 01 111000 (перевод в обрат­

ный код);

•1 1 1 1 1 1 1 1 01 111000 1 1 1 1 1 1 1 1 01 1 1 1001 (перевод в допол­

нительный код).

Представление вещественного (действительного) числа

в компьютере

Вещественное число может быть представлено в экспоненциаль­ ном виде, например:

1600000010= 0,16*108 -0,000015610= -0,156*10-4

В этом формате вещественное число представляется в виде про­ изведения мантиссы (m) и основания системы счисления в целой степени (п), называемой порядком. Представим это в общем виде, как:

R = т*Рп .

Порядок п указывает, на какое количество позиций и в каком

направлении должна сместиться в мантиссе точка (запятая), отде­ ляющая дробную часть от целой. Мантисса, как правило, норма­ лизуется, то есть представляется в виде правильной дроби О < т < 1.

При представлении в компьютере действительного числа с пла­

вающей точкой тоже используется нормализованная мантисса и

целый порядок. И мантисса и порядок представляются в двоич­

ном виде, как это было описано выше.

Для размещения вещественного числа обычно используется

2или 4 байта.

В2-байтовом формате представления вещественного числа

первый байт и три разряда второго байта выделяются для разме­

щения мантиссы, в остальных разрядах второго байта размеща­ ются порядок числа, знаки числа и порядка.

В 4-байтовом формате представления вещественного числа пер­ вые три байта выделяются для размещения мантиссы, в четвертом байте размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

Контрольные вопросы и задания

Задания

1.Перечислите символы алфавита для шестнадцатеричной сис-

темы счисления.

2.Распишите числа от 4 до 10 в пятеричной системе счисления.

3.Переведите число 32,2510 в восьмеричную систему счисления.

4.Преобразуйте число 1 1 101 1 , 1001 12 в шестнадцатеричную сис­

тему счисления.

5.Среди представленных ниже чисел выберите наибольшее:

11023

1345

618

А1в Ответ обоснуйте, представив решение в десятичной системе

счисления.

и представьте его в 2-байтном формате с плавающей точкой.

Под мантиссу отведите 1 байт.

Контрольные вопросы

1.Чем характеризуется любая позиционная система счисления?

2.Алфавитом какой системы счисления являются цифры от О

ДО 5?

З Какое основание имеет система счисления со следующим ал­

4. Являются ли системы счисления с основаниями 5 и 25 родст­ венными?

5. Является ли система счисления с основанием 4 родственной двоичной?

6. Сколько двоичных разрядов необходимо для кодирования лю­ бой цифры восьмеричной системы счисления?

7. Сколько двоичных разрядов необходимо для кодирования лю­ бой цифры шестнадцатеричной системы счисления?

8. Для чего используется целочисленный формат?

9. Для чего используется формат с плавающей точкой?

10. Что такое обратный код двоичного числа?

11. При кодировании каких чисел используется дополнительный код?

Контрольные вопросы

1.Чем характеризуется любая позиционная система счисления?

2.Алфавитом какой системы счисления являются цифры от О

ДО 5?

З Какое основание имеет система счисления со следующим ал­

4. Являются ли системы счисления с основаниями 5 и 25 родст­ венными?

5. Является ли система счисления с основанием 4 родственной двоичной?

6. Сколько двоичных разрядов необходимо для кодирования лю­ бой цифры восьмеричной системы счисления?

7. Сколько двоичных разрядов необходимо для кодирования лю­ бой цифры шестнадцатеричной системы счисления?

8. Для чего используется целочисленный формат?

9. Для чего используется формат с плавающей точкой?

10. Что такое обратный код двоичного числа?

11. При кодировании каких чисел используется дополнительный код?