7. Сдвиг и смятие.

Рассмотрим явление сдвига на примере короткого бруса, одна из сторон которого заделана в стену, а на другую, перпендикулярную ей, действует сила. При этом брус испытывает одновременно изгиб и сдвиг. Однако при условии короткого бруса изгибом можно пренебречь.

Под действием силы F, каждое поперечное сечение бруса сдвигается относительно соседнего вниз, в результате чего торцовая грань bd, займет положение b₁d₁. Величина bb₁ или dd₁ называется абсолютным сдвигом.

Величина абсолютного сдвига данного сечения зависит от расстояния между сечением и стеной, чем оно больше, тем больше сдвиг. Отношение величины абсолютного сдвига к расстоянию ab, называют относительным сдвигом.

т.к. при малых углах tg γ ≈ γ, то можно записать:

Чтобы определить действие напряжений в сечении 1-1, применим метод сечений. Для этого мысленно рассечем брус в указанном сечении и отбросим левую часть. Заменим действие отброшенной части внутренними силами, которые будут расположены в плоскости сечения, а следовательно, при сдвиге возникают касательные напряжения. Предположив для упрощения, что касательные напряжения распределятся равномерно в плоскости сечения, запишем формулу:

Сравним формулы:

и

налицо сходство этих формул, однако, есть и существенные различия. При осевом растяжении равномерность распределения нормальных напряжений подтверждена опытами, а при сдвиге равномерность распределения касательных напряжений принимают условно – в целях упрощения расчетов. Кроме того, при растяжении напряжения определяются по площади перпендикулярной к направлению действующей внешней силы, а при сдвиге площадь параллельна ей.

Опытами установлено, что:

где G коэффициент, зависящий от упругих свойств материала. Приняв во внимание, что а/h=γ и F/S=τ, получим:

т.е. касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу. Данное определение есть закон Гука для сдвига. Постоянная G называется модулем сдвига и имеет размерность напряжения, т.е. измеряется в н/м², или кг/см².

Таким образом, для оценки упругих свойств каждого изотропного материала имеются три характеристики:

Модуль продольной упругости Е;

Коэффициент Пуассона μ;

Модуль сдвига G.

Эти три характеристики связаны между собой зависимость, которую даем без вывода:

.

8. Деформация и напряжения при кручении. Крутящий момент.

Рассмотрим брус круглого сечения один конец которого закреплен, а к другому приложена пара сил с моментом m, действующим в плоскости, перпендикулярной к оси бруса. Под действием этой пары брус будет испытывать деформацию кручения, которую будем предполагать протекающей упруго. Момент пары скручивающей брус, называют скручивающим моментом и обозначается m.

Опыты показывают, что при кручении ось бруса остается прямой, торцовое сечение плоским, а радиусы, намеченные на торцовом сечении, не искривляются. Окружности нанесенные на поверхность бруса также не изменяются после деформации. Все образующие поворачиваются на один и тот же угол относительно друг друга, а квадраты нанесенные на поверхность бруса до деформации, становятся одинаковыми ромбами после кручения. Обобщив указанные данные опытов можно сделать предположение, что каждый элемент на поверхности и внутри бруса испытывает чистый сдвиг, а следовательно в поперечных сечениях бруса возникают только касательные напряжения.

Угол, на который поворачивается вокруг оси одно сечение относительно другого, называется углом закручивания и обозначается буквой θ. Величина его пропорциональна расстоянию между сечениями. Угол поворота одного торцового сечения относительно другого торцового сечения называют полным углом закручивания.

Применив метод сечения можно установить, что внутренние силы в поперечном сечении приводятся к паре сил М_к. Момент внутренней пары сил, действующей в плоскости поперечного сечения бруса, называется крутящим моментом в рассматриваемом поперечном сечении и обозначается М_к.

Расчеты на кручение производят для валов машин, осей подвижного состава, пружин и некоторых элементов гражданских и промышленных зданий.

На основе рассмотренных выше опытом можно принять следующие допущения:

• Плоские поперечные сечения круглого бруса остаются плоскими и после деформации;

• Радиусы, проведенные в поперечных сечениях, после деформации остаются прямыми;

• Расстояния между поперечными сечениями не изменяются;

Используя метод сечений, закон Гука при сдвиге и ряд математических преобразований, можно определить полный угол закручивания бруса при кручении:

Где

М_к – крутящий момент;

l – длина бруса;

G – модуль сдвига;

J_ρ – полярный момент инерции площади сечения;

Произведение GJ_ρ называют жесткостью сечения бруса при кручении. Формал читается следующим образом: величина угла закручивания прямо пропорциональна крутящему моменту Мк и длине бруса l и обратно пропорциональна жесткости сечения при кручении GJρ.

Величина θ измеряется в радианах, формула для θ в градусах выглядит следующим образом:

Величина касательных напряжений определяется по формуле:

где ρ – радиус сечения бруса;

Ввиду того, что величина М_к/J_ρ постоянна для данного сечения, можно сделать вывод, что максимальное значение напряжений будет в крайних точка сечения бруса.

Наибольшее напряжение величины касательных напряжений в крайних точках можно записать как:

где W_ρ=J_ρ/ρ_max – полярный момент сопротивления сечения бруса.

Величина полярного момента инерции площади круга определяется по формуле:

Тогда

Для полого бруса выражения выглядят следующим образом: