Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Электромагнитные поля и волны

Файл:

Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

.pdf

Скачиваний:

342

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	1	3	3	∂			∂ϕ
∆ϕ = divgradϕ =		∑∑			(gij	g		).
				i			j
	g i=1 j=1			∂u			∂u
(8.23)

8.3. Продольно-азимутально нерегулярный волновод. Контравариантные компоненты уравнений Максвелла

Рассмотрим произвольно нерегулярный прямолинейный волновод (продольно-азимутально нерегулярный волновод). Пусть внутренняя граница такого волновода задается следующей произвольной гладкой функцией:

b = b(ϕ, z) ,

(8.24)

где ρ = r / b .

Тогда радиус-вектор внутренней точки Р (8.2) может быть задан как

rr(ρ,ϕ, z) = zzr0 + ρb{xr0 cosϕ + yr0 sinϕ)

В соответствии с (8.4) тогда имеем ar1 = ∂rr = brr0 ,

∂ρ

r			∂rr	r			r	∂b
a2	=			=ϕ0 ρb		+ r0 ρ			,
a2	=		∂ϕ	=ϕ0 ρb		+ r0 ρ		∂ϕ	,
r		∂rr		r	r		∂b
a3	=		∂z = z0		+ r0	ρ	∂z .

Соответственно V = ar1[ar2 ,ar3] = ar2[ar3

,ar1] = ar3[ar1,ar

ветствии с (8.5) система взаимных векторов имеет вид

ar1 = b12 (rr0b −ϕr0 ∂∂ϕb − zr0ρb ∂∂bz ) ,

ar2 =ϕr	/bρ,	ar3 = zr .
0		0

(8.25)

(8.26)

2] = b2 ρ . Тогда в соот-

(8.27)

Запишем первое уравнение Максвелла, используя основную (8.26) и взаимную (8.27) системы векторов. При этом для сохранения привычных выражений для компонент rotH в цилиндрической системе координат введем

«расчетные» (со штрихом) компоненты векторов H = Hρ′ ar1 + ρHϕ′ar2 + Hz′ar3

(т.е.

ковариантные

проекции

векторов

связаны

расчетными

′

= H1,

′

= H

3 ),

′

и т.д..

какH2 = Ha2 = ρHϕ , H ρ

H z

E = Eρa

ρEϕa

+ Ez a

Тогда

1 ∂H′

∂Hϕ′

∂Hρ′

∂H′

1 ∂(ρHϕ′)

∂Hρ′

rotH =

{(

−

(

−

(

−

)a } =

∂z

∂ρ

∂ϕ

ρ ∂ϕ

∂ρ

∂Eρ′

∂(ρEϕ′ ) r

∂E′

=ε

{

a1 +

3} +δ′a1

+ ρδ′a

δ′a

3 .

(8.28)

∂t

Умножая обе части (8.28) скалярно последовательно на взаимные векторы ar1,ar2 ,ar3 , получаем контравариантные проекции уравнений Максвелла в следующей форме:

1 ∂H ′

∂Hϕ′

∂

′

− ∂z = ρ

{ εa ∂t ( g

ρ ∂ϕ

Eρ

+ g

ρEϕ + g

) + g δ

ρ + g

ρδϕ + g

δ z

}

∂H ′

′

∂

−

∂H z

g{ ε

( g

E′

+ g

ρE′

+ g

E′

+ g

ρδ ′

+ g

δ ′

∂z

∂ρ

a ∂t

) + g δ ′

1 ∂( ρHϕ′ 1 ∂Hϕ′

∂

′

ρ ∂ρ − ρ ∂ϕ = ρ { εa ∂t ( g

+ g

ρEϕ

Ez )

+ g 31δ ρ′ + g 32 ρδϕ′

+ g 33δ z′ } .

(8.29)

В векторной форме уравнение (8.29) можно теперь записать в виде

rotHr′ = εa g) ∂∂Et ′ + g)δr′, (8.30)

g11ρ

где g) = g g 21

g 31ρ

g12	g13
g12	ρ
	ρ
ρg 22	g 23		,
ρg 22	g 23		,
g 32	g	33
g 32	g
	ρ

g =V = b	2	ρ, g	11	=	1	( b	2	+(	∂b	)	2	+ ρ	2	b	2	(	∂b	)	2	),
g =V = b		ρ, g		=	b4	( b		+(	∂ϕ	)		+ ρ		b		(	∂z	)		),
					b4				∂ϕ								∂z

g 22 = 1 /( bρ )2 , g 33 = 1, g12 = −					1	∂b	= g 21 ,
g 22 = 1 /( bρ )2 , g 33 = 1, g12 = −					b3 ρ ∂ϕ		= g 21 ,
					b3 ρ ∂ϕ
g13 = −	ρ ∂b	= g 31 , g 23	= g 32	= 0 .

	b ∂z
	b ∂z

Аналогичные преобразования приводят к следующей форме второго уравнения Максвелла:

) r

) ∂H ′

rotE′ = −µa g

− gδ ′

(8.31)

∂t

r r

учетом

формул

(8.17), (8.18) физические

компоненты векторов

H , E,δ ,δ m могут быть записаны как (выпишем только H , остальные записи

идентичны)

′

Hτ = Hρ / b ,

Hϕ = Hϕ′ / b −

Hρ′

∂b

(8.32)

∂ϕ

Hz = H′z − H′ρ ρb ∂∂bz .

В новой системе координат ρ, ϕ, z внутренняя граница произвольнонерегулярного волновода b(ϕ, z) преобразуется в границу регулярного ци-

линдра с внутренней границей ρ=1. Таким образом, граничные условия для уравнений (8.30), (8.31) в новой системе координат в случае идеальной проводимости стенок приобретают простейший вид:

r	r′	= 0 .	(8.33)
r	r′
[ρ0	, E ]
		ρ=1
		ρ=1

8.4. Уравнение возбуждения произвольно-нерегулярного волновода сторонними токами

Прежде чем переходить к решению (8.30),(8.31),(8.33) целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.30),(8.31)r электростатическую

часть поля, содержащую разрыв первой производной E′ и магнитостатическую, содержащую разрыв H′ .

При этом динамическая задача имеет вид:

) r

) rM

= ε

) ∂ E

= −µ

)

∂ H

(8.34)

rotH

+ gδ

, rotE

∂t

− gδ

∂t

′

= 0 .

(8.35)

n , E1

ρ=1

Здесь δr =δr′−ε

grad

(∂ Φ′

/∂t ),

E′+ gradΦ′.

rМ

r′М

′

/∂t),

H1 = H

′

δ1

− µ0 grad(∂ΦМ

+ gradΦM .

Существенно, что E1, H1

- непрерывные на границе источников векто-

ры. Остановимся на решении задачи (8.34),(8.35). Представим:

jmωt

E1t

= Re∑E&tme

E1z

= Re∑E&zme

rМ

I N

(z)eni

где Etm = ∑ ∑ (Amni

+ Amni (z)eni

Ezm = ∑ ∑ Cmni (z)ϕnia .

i=1 n=−N

jmωt

H1t

= Re∑H&tme

H1z = Re∑H&zme jmωt ,

(z)ψniar3.

H&tm = ∑

∑(B&mnie

(z)hnie

+ B&mniМ (z)hniМ ),

H&zm

= ∑ ∑H&mni

i=1n=−N

Здесь

ϕni

= Jn (νni ρ)e jnϕ ,

ψni = Jn (µni ρ)e jnϕ ,

ernie = ρr0νni Jn′ (νni ρ)e jnϕ +ϕr0 j ρn Jn (νni ρ)e jnϕ ,

erniм = ρr0 jnρ Jn (µni ρ)e jnϕ −ϕr0µni Jn′ (µni ρ)e jnϕ , hrnie = −ρr0 jnρ Jn (νni ρ)e jnϕ +ϕr0νni Jn′ (νni ρ)e jnϕ ,

hrniМ = ρr0µni Jn′ (µni ρ)e jnϕ +ϕr0 jnρ Jn (µni ρ)e jnϕ , Jn (νni ) = 0, Jn′(µni ) = 0.

Амплитуды A&mnie (z), A&mniм (z), B&mnie (z), B&mniм (z),C&mni (z), H&mni (z)

определим из следующих проекционных равенств, эквивалентных (8.34):

2π 1

}

∫ ∫{

rot

+ H

− jmωε

gˆ

+ E

ere

ρd ρdϕ =

(8.36)

(

zm )

(

zm )

−ni

2π 2π 1

r r

∫

∫ ∫

gˆδ ee

e− jmωt ρd ρdϕdωt ,

1 −ni

2π 1

}

∫ ∫{

rot

+ H

− jmωε

gˆ

+ E

erМ

ρd ρdϕ =

(8.37)

(

zm )

(

zm )

−ni

=1 2∫π 2∫π 1∫ gˆ δr1er−Мni e− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 0

2π 1

}

∫ ∫{

rot

+ H

− jmωε

gˆ

+ E

ar3

ρd ρdϕ =

(8.38)

(

zm )

(

zm )

−ni

2π 2π 1

r r

∫

∫ ∫

− jmωt

gˆδ a ϕ

−ni

ρd ρdϕdωt ,

2π 1

}

∫ ∫{

rot

+ E

+ jmωµ

gˆ

+ H

ρd ρdϕ =

(8.39)

(

zm )

(

zm )

−ni

2π 2π 1

rM re

− jmωt

= −

∫ ∫ ∫

gˆδ

ρd ρdϕdωt ,

−ni

2π 1

}

∫ ∫{

rot

+ E

+ jmωµ

gˆ

+ H

ρd ρdϕ =

(8.40)

(

zm )

(

zm )

−ni

2π 2π 1

rM rМ − jmωt

= −

∫ ∫ ∫

gˆδ

ρd ρdϕdωt ,

−ni

2π 1

}

∫ ∫{

rot

+ E

+ jmωµ

gˆ

+ H

ar3

ρd ρdϕ = 0

(8.41)

(

zm )

(

zm )

−ni

2π 2π 1

rM r3

− jmωt

= −

∫ ∫ ∫

gˆδ1 a ψ−nie

ρd ρdϕdωt .

Правые части уравнений возбуждения (8.36)-(8.41) (интегралы возбуждения) записаны в общем случае, когда координаты источников могут меняться во времени, т.е. ρ=ρ(t), ϕ=ϕ(t), z=z(t). Причем, эти зависимости могут содержать и негармонические составляющие.

Уравнения (8.36)-(8.41) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую искомые коэффициенты разложения

A&mnie (z), A&mniМ (z),B&mnie (z),B&mniМ (z),C&mni (z),H& mni (z).

Иначе говоря, уравнения (8.36)-(8.41) представляют собой систему уравнений возбуждения динамических полей волновода произвольной нерегулярной конфигурации, возбуждаемого негармоническими электрическими

имагнитными токами источников.

8.5.Самосогласованные нелинейные уравнения лампы бегущей волны О - типа

сзамедляющей системой в виде продольно-нерегулярного волновода

Введем в решение общей задачи возбуждения нерегулярного волновода следующие условия и упрощения.

1. Поскольку в ЛБВ-0 имеются только электрические источники, плотность магнитного тока δ µ = 0 .

2.В релятивистских ЛБВ-0 используются продольно-нерегулярные волноводы, поэтому радиус волновода b=b(z).

3.Система источников осесимметрична и азимутальная составляющая

δϕ = 0 . Поэтому плотность электрического тока δ = rr0δr (r, z) + zr0δz (r, z) .

Несимметричные типы волн не возбуждаются.

4. Из-за отсутствия δϕ и благодаря тому, что волны E0i и H0i не связаны, волны H0i не возбуждаются.

5.Будем считать, что b(z) не приближается к критическому для E02 . Поэтому возбуждение высших E0i (i≥2) волн можно не рассматривать.

6.Остановимся на кинематическом (т.е. без учета пространственного заряда) приближении (что в определенной степени по уровню точности соответствует приближению п.5).

7.Будем рассматривать гармонический режим, т.е. m=1.

C учетом перечисленных условий искомые решения для компонент поля можно записать в виде:

H&ϕ′ = B&(z)J1(ν01ρ), E&z′ = CJ& 0 (ν01ρ), E&ρ′ = AjJ& 1(ν01ρ) .

Соответственно система уравнений возбуждения, полученная в п.8.4, приводится к следующей:

2π 1

∫ ∫{

(ν

01ρ) + j

((1+ ρ

(

)

) jAJ1(ν01ρ) −

(8.42)

0 0

−ρb db J0 (ν01ρ)}J1

(ν01ρ)ρd ρdϕ +

2∫π 2∫π ∫1

((1

+ ρ2 (db)2 )δ&ρ′

− ρb db

δ&z′))

π 0

0 0

2π 1

db &

∫ ∫{

BJ1(ν01ρ) + Bν01J1′(ν01ρ)

− j

W 0

(−bρ dz AjJ1(ν01ρ) +

(8.43)

2π 2π 1

+ Сb2 J0 (ν01ρ)}J0 (ν01ρ)ρdρdϕ −

δ&ρ′ + b2δ&z′)

∫ ∫ ∫

(−bρ dz

J0 (ν01ρ)ρdρdϕe− jωt dωt =0,

δrρ′ = bδ&r

,δ&z′ =δ&z + ρ db

δ&r ,

0 &

= −

ν01

[ dz

+ kW

B] .

(8.44)

Используем далее закон сохранения заряда и метод крупных частиц. Введем также следующие безразмерные переменные:

T = kz = ωc z; B = kb; βi = vi / c, E& = C&ωηc0 ;

kη0

; E&

Akη0

; η

= (e(

m , e,m - соответственно заряд и мас-

ωc

са

покоя

электрона:

Ri =

′

- размерный радиус частицы,

1− βi

; ri = rik,

B0 = kb0 , b0 −

радиус

входной,

регулярной

секции

волновода:

W 0

1,965 10−6 ,

- ток пучка по модулю в A,

πB2

I1 = ∫J12 (ν01ρ)ρd ρ = 0,134757, I2 = ∫J12 (ν01ρ)ρ3dρ = 0,75953 .

Тогда уравнения возбуждения (8.42)-(8.44) в пренебрежении толщиной трубки электронного пучка принимают вид

dH&

dB 2

1 dB

= E& 1+

−

+ H&

ν 2

B dT

1 dB

1 r

− jωti

G0 B0

∑

ν01

−

J1 ν01

B dT

ν01 B

N i=1

ν01

(8.45)

βri

∑Ji

(ν01

)

e− jωti ;

B Nν01 i=1

βzi

&	&	ν01	&
E = H			− E
		jB2	1

dE&	= −E&		1 dB
1

dT		1 B dT

1 dB 1

− jωt

∑J0 ν01

;

jB dT ν01

jν01

N i=1

ν 2

− jωt

−1 H& + G0

∑J0

ν01

i .

N i=1

(8.46)

(8.47)

Соответственно уравнения движения i-й частицы имеют вид

dβzi

βri βzi

βri

jωti

= −

Re[(E&′

−

E&1′)(1− βzi ) −

E&1′

+ H&′

, (8.48)

βzi

dβri

E&1′

− (E&′

ri dB

E&1′)βriβzi − H&′

βzi

jωti

− FRiβϕi ,

= −

Re[(

(1−

βri )

−

βzi

dri

dωti

= βri

/ βzi ,

=1/ βzi , E′ =

EJ0 (ν01

), E1′

E1J1(ν01

H ′ = HJ1(ν01

) .

(ri

2 − r02 )

Здесь

= FωR

R =

1− β2

− β2 −

β2

ϕi

F = eB0 / m ω = Ω0

, Ω

- нулевая циклотронная частота электронов в фоку-

сирующем магнитном поле B0 = zr0B0 .

Система уравнений (8.45)-(8.48) формулирует нелинейные самосогласованные уравнения ЛБВ-0 с произвольным квазигладким (точки разрыва производных достаточно обходить при интегрировании системы) нерегулярным волноводом в одномерном кинематическом приближении.

Начальные условия к этой системе могут быть заданы следующим образом:

(0) = β

, β

(0) = 0, r (0) = r

, ωt

(0) = 2πi / N,

dB = 0,

E&(0) = E

jB2

H& (0) = E

1−(ν

/ B )

E (0) = E

0 ν

Электронный КПД (ηe )

рассчитывается как

N 1− R / R

(

)

ηe (T )=

∑

0 i

, R0

= 1− β02 .

1− R

i=1

Волновой КПД (ηB ) определяется через поток энергии, образуемый

попутной компонентой поля через текущее поперечное сечение волновода и выражается как

η		(T )=	ν01 Re(j (E&1 (T )H& * (T )− E&1 (0)H& * (0)))R0				.

	B			G B2		(1− R )
				0	0	0
Сопоставление ηe ,ηB				в отсутствие потерь позволяет оценить точность

численных расчетов.

8.6. Уравнения возбуждения произвольно-нерегулярного коаксиального волновода

В разделе 8.4 cформулированы уравнения возбуждения произвольнонерегулярного полого волновода (односвязная область поперечного сечения). Большой интерес, однако, представляют коаксиальные волноводы, особенно в области миллиметровых и субмиллиметровых волн, где на их основе создаются приборы и устройства, обладающие уникальными характеристиками. Последнее связано с аномальной дисперсией волн Hni (n>>1), позволяющей в нерегулярных коаксиальных волноводах эффективно осуществить селекцию паразитных колебаний и волн в полосе порядка октавы, что открывает путь к созданию сверхразмерных одномодовых коаксиальных структур с рабочей

волной Hni .

Строгой теории нерегулярных коаксиальных структур, однако, не существует; оценки свойств таких структур строятся на базе теории регулярной коаксиальной линии (например, дисперсионного уравнения для такой линии). Двусвязность области поперечного сечения коаксиальной структуры (наличие двух границ в отличие от нерегулярного полого волновода) требует при использовании наиболее естественного для рассматриваемой задачи метода преобразования координат введения новой функции отображения. В данном разделе определена такая функция и на ее основе сформулирована строгая теория произвольно (по z и ϕ) нерегулярной коаксиальной структуры, включая общий случай, когда в ней действуют сторонние негармонические источники.

Рассмотрим произвольно (по z и ϕ) нерегулярный коаксиальный волновод ( r,ϕ, z - компоненты исходной цилиндрической системы координат).

Поверхности внутреннего и внешнего проводников S1,S2 задаются соответственно как b1(ϕ, z) и b2 (ϕ, z) . Задача состоит в определении поля, возбуж-

даемого в волноводе источниками, заданными плотностью стороннего элек-
r	r	δ		r		r	δ		(r,ϕ, z,t)	и плотностью
трического тока δ	= r		r	(r,ϕ, z,t)+ϕ δ		(r,ϕ, z,t)+ z		z
	0			0	ϕ	0
стороннего				магнитного						тока
δrМ = rrδ М (r,ϕ, z,t )+ϕr		δ		М (r,ϕ, z,t)+ zr δ М (r,ϕ, z,t).				Искомое		поле должно
0 r		0	ϕ		0	z

удовлетворять граничному условию на S1, S2 (потерями в стенках пренебрегаем, σ → ∞ ; изломы S1, S2 отсутствуют):

	r	r	S	= 0,	(8.49)


n1,2		, E
			1,2
nr1,2 - внешняя нормаль к S1 или S2.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом преобразования координат, позволяющим преобразовать граничную задачу (8.49) к элементарной. Введем следующую функцию преобразования:

ρ = (r +b −b1) /b ,	(8.50)
b = (b2 −b1) /(α −1), α = b2 (0) / b1(0) .
При этом ρ [1,α]	и в новых переменных внутренняя граница волно-

вода регулярна: ρ	r =b	=1, ρ	r =b =α . Учитывая обратное преобразование
вода регулярна: ρ	r =b	=1, ρ	r =b =α . Учитывая обратное преобразование
	1		2

r = ρb −b + b1 , для радиуса-вектора точки во внутренней области волновода в новой системе координат ρ,ϕ, z имеем

r (ρ,ϕ, z) = z0z + (x0 cosϕ + y0 sinϕ)(ρb −b +b1) .

(8.51)

Определим основную систему векторов косоугольной системы ρ,ϕ, z :

ar1 = arρ = ∂rr = b(xr0 cosϕ + yr0 sinϕ) = brr0 ,

∂ρ

= ar

∂rr

=[(ρ −1)

∂b

∂b1

]rr

+ (ρb −b + b )ϕr

∂ϕ

∂ϕ 0

1 0

= ar

∂r

= zr

+[(ρ −1)

∂b +

∂b1

]rr .

∂z

Взаимная система векторов ar1,ar2 ,ar3 определяется следующим обра-

зом:	[ar2,ar3]			[ar3,a1]			[a1,a2 ]
ar1 =		,	ar2 =		,	ar3 =		,
	V			V
							V

V = a1[a2,a3] = a2[a3,a1] = a3[a1,a2 ] = b(ρb −b + b1) .

Производя указанные действия, имеем

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны

#
02.05.201431 Кб30Вопросы по ЭМПиВ.doc
#
02.05.20145 Мб342Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf
#
02.05.2014820 Кб94Курсовая работа по эктродинамике.doc
#
02.05.2014652 Кб78Курсовая работа по эктродинамике1.doc
#
02.05.20143 Мб94Курсовая работа по эктродинамике2.doc
#
02.05.2014659 Кб63Курсовая работа по эктродинамике3.doc
#
02.05.2014579 Кб73Курсовая работа по эктродинамике4.doc