Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

Назовем нормой S-й волны значение NS = JS, -S = -J-S, S .

Рассмотрим физический смысл NS и введем полезное для дальнейших расчетов энергетическое соотношение. Составим выражение для NS:

С другой стороны, средняя за период мощность, переносимая S-й волной с комплексной амплитудой C&S через поперечное сечение волновода S рассчитывается через вектор Умова-Пойнтинга как

Таким образом, NS = 4PS .

CSm2

7.3.Уравнения возбуждения регулярных волноводов сторонними токами

Представим вектора поля и тока в виде суммы поперечных и продольных составляющих:

где вектора с верхними индексами t-поперечные, l-продольные.

Теперь воспользуемся свойствами собственных функций: Er&St , Hr& St для S образуют полную систему в классе поперечных векторов (М.В. Келдыш, ДАН СССР. 1951, т.87, с.95). Ввиду этого свойства решение для Er&t , Hr& t

можно искать в виде разложения по полной системе {Er&St }и {Hr&St }:

S

81

Здесь C&±S - амплитуды возбужденных волн.

Используя поперечные и продольные составляющие уравнений Максвелла можно показать (см. А.А. Кураев, «Сверхвысокочастотные приборы с периодическими электронными потоками», Мн., Наука и Техника, 1971, с.2223), что разложение для продольных составляющих имеет вид:

Полное разложение поля теперь может быть записано в виде

Для определения C&±S (Z ) воспользуемся леммой Лоренца.

Рассмотрим отрезок волновода, включающий весь объем источников V=V2+V2 между поперечными сечениями Z=0, Z0. Текущее сечение Z делит V

82

Используя условие ортогональности собственных волн, из (22.19) получаем

Аналогичным образом, подставляя (7.16) в (7.18) и учитывая условия ортогональности, имеем

Уравнения возбуждения (7.20), (7.21) можно записать в дифференциальной форме:

83

7.4.Способы возбуждения волноводов (примеры)

1.Штырь (вибратор Герца).

Схема этого возбуждения изображена на рис.7.3.

В данном случае вдоль линейного проводника длинной L и направле-

Рис. 7.3.

r

нием l задан линейный сторонний ток Icm = l0 I&(l).

Используя уравнение возбуждения (7.20) и (7.21) в рассматриваемом случае, получаем

расположения штыря).

Полагая I&(l)= I&me jω tϕ(l) и используя формулу PS , полученную ранее, имеем

где

U эфф2 = L∫rl0 ErS0 (rr )ϕ(l)dl .

0

С другой стороны, PS = 12 RS Im , где RS - сопротивление излучения для

U 2

попутной или встречной волн. Таким образом, RS = эфф . Учитывая, что

2NS

излучаются одновременно (и равноценно) попутная и встречная волны, полное сопротивление излучения

84

2. Петля (рамка с током).

Схема такого способа возбуждения приведена на рис.7.4.

Сторонний магнитный момент, создаваемый рамкой с током

площадь рамки. Производя те же действия, что и в предыдущем примере для электрического диполя, получаем

Предполагается, что рамка мала по сравнению с длиной волны λ, и поэтому ток в ней имеет одинаковую амплитуду по всей рамке. Запишем сопротивление излучения петли:

85

Пусть щель имеет длину L. Тогда, если введен линейный магнитный ток Ir&m = rl0 Immϕ (l), амплитуда возбуждаемых волн может быть записана как

4. Окно.

Конфигурация окна в стенке волновода изображена на рис.7.5.

Рис. 7.5.

5. Возбуждение регулярной замедляющей системы электронным пото-

ком.

Пусть сгруппированный электронный поток приходит по оси замедляющей системы Z. Первая гармоника тока в пучке может быть задана как

Полагая C&S = A&S e jω t для тонкого пучка, когда его расслоением можно пренебречь, получаем

dA&S = J&lESZ0 e j(hS −he )Z

dz NS

86

Здесь J&l - первая гармоника тока пучка, ESZ0 - усредненная по сечению

пучка Z - составляющая электрической напряженности волны S-го типа замедляющей системы.

ГЛАВА VIII

*НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ВОЛНОВОДЫ

8.1.Неортогональные координатные системы

Пусть в заданной области V(S) введены обобщенные криволинейные координаты u1,u2,u3 , так, что любая точка P V определяется однозначно

набором значений u1,u2,u3 . В точке Р определены три координатные поверхности:

Пересечение двух поверхностей образует координатную кривую, вдоль которой меняется только одна координата.

Положение точки Р определяется радиусом-вектором r , проведенным из начала отсчета. Как и точка Р, r является функцией криволинейных координат

u1,u2,u3 :

Длина и размерность координатных векторов зависят от характера криволинейных координат u1, u2 , u3 . Смешанные произведения базисных векторов ar1, ar2 , ar3 дают объем V координатного параллелепипеда:

87

V = ar1[ar2,a3] = ar2[ar3,ar1] = a3[a1,a2].

Основная система векторов выражается через взаимную аналогично

(8.5):

Дифференциал drr во взаимной системе записывается через приращения du1, du2 , du 3 в направлении взаимных векторов:

Дифференциалы du1,du2,du3 могут быть не полными в неортогональных системах. Приравнивая (8.3) (с учетом (8.4)) и (8.8), имеем

Обозначим скалярные произведения основных и взаимных векторов, входя-

щие в (8.10):

88

мерность, что и сам вектор F .

8.2. Дифференциальные операторы

Приведем без доказательства формулы основных дифференциальных операторов электродинамики.

Градиент скалярной функции ϕ(u1,u2 ,u3) в т. Р

Здесь градиент записан с использованием взаимной системы базисных векторов. Естественно, ari могут быть выражены через ai путем преобразования