Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Электромагнитные поля и волны

Файл:

Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

.pdf

Скачиваний:

342

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

1 dg

Q (T )

=1−

−

(T )

µ1

g dT

1 dg

(5)

1 d

2 g

(6)

(T ) =

−

i ≠ j ;

g dT

Профиль волновода зададим следующим образом

g(T ) =1+ ∆ + H sin

(8.120)

+ a3

+ a5

в виде

разложения

в ряды по Т-

Далее представим A1, A2 , A3 ,...AI

функциям:

ktm

) = ∑c

A (t

N = N

+ N

+1,

i =1, 2... .

(8.121)

k =−N1 ik

(Обычно N1 = N2 ).

Здесь N –

число точек на интервале [0; L0];

r =

, где LN – период Т-

функций, т.е.

LN = 2π

sin(π / N )

= 2N sin(π / N ).

π / N

По определению (8.108):

πkt

= exp j

rN sin(π /

N )

Первая

вторая

производные

этой

функции

благодаря свойствам

(8.113) и (8.116) выражаются соответственно как:

′

= jRk teNk

teNk

te′′Nk

= −Rk2teNk

(8.122)

πk

где Rk = sin

/(r sin(π / N )).

131

Подставляем (8.121) в (8.119) с учетом (8.122) (для всех точек tm, исключая первую t1 и последнюю tN):

− ∑ c

+ ∑ c

Q (T) te

k=−N1 ik

Nk r

k=−N1

j ∑ c

(T) R

− ∑c

(T) te

(8.123)

k=−N1

k=−N11k

j ∑ c

(T) R

− ∑c

(T) te

... =0,

k=−N1

i =1,2, ....

Группируя слагаемые в (8.123) относительно коэффициентов разложений cik, имеем:

(−

+ Q (T ))te

∑ c

−

k=−N1

[− jG

(T )] te

∑ c

(T )R

+ Q

−

(8.124)

k=−N1

[−

(T )] te

−

∑ c

+ Q

− ... = 0,

i =1,2 ... .

k=−N1

В полученной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) множество {cik} представляет собой вектор неизвестных; а стоящие в квадратных скобках выражения – матричные элементы СЛАУ. В крайних точках (t1 и tN) используется уравнение (8.118), выражающее граничные условия задачи.

Первые производные берутся в соответствии с конечно-разностным определением правосторонней производной (это не влияет на общую точность решения):

dAi (0)

(t2 ) − Ai (t1 )

; h =

;

(tN ) −

(tN −1 )

dAi (L0 )

; i =1, 2... .

Используя представление (8.121), получаем:

132

dA (0)

∑ cik teNk

−teNk

h k =−N1

dA (L )

N −1

∑

cik teNk

−teNk

k =−N1

Заменяя

dA1,i (0)

dA1,i (L0 )

правой частью уравнений граничных условий

(8.118) и учитывая, что

kt1

teNK

−teNK

= t1 + h/2 и что

/ h = − jRK teNK

, где t

ktN

ktN −1

N −1

N-1

teNK

−teNK

/ h

= − jRK teNK

где t

= tN-1

+ h/2, оконча-

тельно получаем дополняющие систему (8.124) уравнения в крайних точках t1 и tN:

kt1

∑

− j

teNk

(8.125)

c1k jRk teNk

1−1/ g0

= A01

k =−N1

kt1

∑

cik

− j

teNk

= 0,

(8.126)

jRk teNk

1−

µ1

/ g0

k =−N1

N −1

ktN

∑

teNk

= 0,

(8.127)

c1k jRk teNk

1−1/ gL

k =−N1

N −1

∑

cik

teNk

= 0.

(8.128)

jRk teNk

1−

/ gL

k =−N1

µ1

Уравнения (8.124) вместе с (8.125)…(8.128) образуют полную СЛАУ для определения коэффициентов {cik}. После ее решения искомые распреде-

ления комплексных амплитуд волн A&1(tm ), …, A&i (tm ) определяются по формулам (8.121).

133

8.9.3 Результаты расчета

Точность расчетов по уровню относительной погрешности баланса мощностей волн δ=1.5% во всех ниже приведенных вариантах обеспечивалось при числе узловых точек N в пределах 101…121. Расчет проводился для трансформатора моды H01 в моду H02 на нерегулярном волноводе. Трансформирующий участок представляет собой плавно расширяющийся гофрированный волновод с одним, двумя гофрами и волновод с оптимизированным профилем. Оптимизация профиля трансформатора осуществлялась в соответствии с процедурой оптимизации, описанной в [26].

На рис. 8.7 приведены данные расчета для трансформатора с одним гофром. На рис. 8.7, а изображен профиль трансформатора g(T). Уровни, проведенные штриховыми линиями, указывают критические сечения gкрi для волн H02, H03, H04, на регулярных участках волновода. Оптимизация профиля указывает на то, что наилучшая трансформация волны H01 в волну H02 достигается при радиусе выходного регулярного участка, близком к критическому для волны H02. На рис. 8.7, б приведены распределения модулей амплитуд

Ai =	&	волн H0i (i =1,5 ) по длине трансформатора. Расчеты показали, что
	Ai

учет волны H06 не меняет результатов в пределах допускаемой относительной погрешности по мощности δ=1.5% Расчеты без учета H04, H05 волн также дают удовлетворительные результаты: δ не превышает 5% (по отношению к расчетам с учетом H04, H05, H06 волн ). Таким образом, сходимость проекционной процедуры по числу типов волн i весьма высока. Однако, существенным является учет ближайшей закритической волны H03 : без ее учета результаты оказываются совершенно неверными. Это указывает на необходимость учета хотя бы ближайших закритических волн при расчетах нерегулярных волноводов.

На рис.8.7, в приведены распределения “парциональных” потоков мощностей волн H01, H02, H03, …, H0i через поперечные сечения трансформатора в положительном направлении T (или z).

	π	2	&	&	*
				dAi
Pi =	2	J0	(µi ) Jm(Ai			)
				dt

Отрицательные значения Pi соответствуют обратным (по T) “парциальным” потокам мощности. В сечениях Т, где dTdg = 0 и волны энергетически не свя-

заны, Pi приобретают смысл реальных потоков мощностей волн H0i и

PΣ = ∑Pi представляют собой полную мощность, переносимую через эти се-

i=1

чения (т. е. разность потоков мощности, идущих вправо и влево через это сечение). Контроль точности расчетов осуществлялся по сохранению суммар-

ного потока мощности PΣ вдоль интервала Т в точках, где dTdg = 0 .

134

На рис. 8.7, г приведены распределения P1 и P2 , рассчитанные без учета закритической волны H03. Сравнение этих результатов с данными рис. 8.7, в указывает на необходимость учета этой закритической волны, как указывалось выше.

Как следует из рис. 8.7, для данного варианта трансформатора с простейшей конфигурацией профиля полного преобразования волны H01 в H02 не происходит: Р1 на выходе не близка к нулю.

На рис. 8.8 приведены аналогичные данные расчетов для трансформатора с двумя гофрами. Форма представления этих результатов та же, что и в предыдущем случае. Суть этих данных остается прежней: 1) для обеспечения необходимой точности необходимо учитывать взаимодействие распространяющихся волн H01 и H02 с закритическими вплоть до H05 ; 2) оптимизированный двухгофровый трансформатор, как и одногофровый, не обеспечивает полного преобразования волны H01 в H02 , необходима полная оптимизация профиля.

На рис. 8.9 приведены результаты полной оптимизации профиля трансформатора: рис. 8.9, а – оптимизированный профиль, рис. 8.9, б – распределение Pi для H01, H02 и H03 волн. Трансформация мод в этом варианте практически полная. Существенную роль в преобразовании H01 в H02 волну играет закритическая волна H03 , как это видно из рис. 8.9, б.

Наконец, следует указать и на эффективность использования аппарата Т-функций. Прямое интегрирование системы ДУ (8.117) при граничных условиях (8.118) пошаговыми методами Рунге-Кутта и Хемминга оказалось невозможным при учете закритических волн из-за расходимости этих методов (из-за малых ошибок появляются быстро возрастающие решения). Использование же в качестве базисов представления искомого решения традиционных систем функций – тригонометрических, ортогональных полиномов, атомарных функций, не обладающих свойствами Т-функций, приводит к плохо обусловленным СЛАУ и при числе узловых точек порядка 100 их решение из-за накопления ошибок не дает нужного результата.

135

Рис. 8.7

136

Рис. 8.8

137

Рис. 8.9

138

ГЛАВА 9. ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ

9.1. Телеграфные уравнения.

Линии передачи, как было сказано в главе 6, делятся по признаку односвязного или многосвязного поперечного сечения. Их принципиальное отличие состоит в том, что в структурах с многосвязным поперечным сечением могут существовать поперечные электромагнитные волны (ТЕМ или Т- волны). У поперечных волн нет продольных компонент векторов Е или Н , они не имеют частоты отсечки и могут существовать при любом значении ω.

Частным случаем линий передачи с многосвязным поперечным сечением являются двухсвязные линии передачи, содержащие два параллельных проводника (коаксиальная линия, двухпроводная линия, микрополосковая линия). В двухсвязной линии передачи наряду с электрическими и магнитными волнами может существовать одна поперечная волна, которую можно описать с помощью так называемых телеграфных уравнений. Телеграфные уравнения формулируются относительно двух величин - напряжения U=U(z, t) и тока I=I(z, t) – которые задаются для каждого поперечного сечения z данной линии передачи в каждый момент времени t :

−	∂U		= RI + L	∂I ;
−	∂z		= RI + L	∂I ;
	∂z			∂t	(9.1)
−	∂I	= GU + C		∂U	(9.1)
−	∂I	= GU + C		∂U
	∂z			∂t

Здесь L – это погонная (т.е. приходящаяся на единицу длины) индуктивность линии; С – погонная емкость линии; R – погонное сопротивление линии; G – погонная проводимость (погонный коэффициент утечки).

В комплексной форме:

−	dU		= (R + jωL)I
	dz
		(9.2)
	dI
−		= (G + jωC)U
	dz

(временной множитель берется как e jωt , а производные по z обозначены че-

рез d/dz, поскольку комплексные амплитуды зависят только от переменной z).

Для получения общего решения уравнения (9.2) исключается одна из величин, например I, и после дифференцирования, в данном случае, первого уравнения (9.2) формулируется уравнение относительно U

d 2U	2	(9.3)
dz2	= −Г U ,	(9.3)
dz2

где Г - постоянная или коэффициент распространения

139

Г2 = ( jR −ωL)( jG −ωC)
и Г =[( jR −ωL)( jG −ωC)]1/ 2 .	(9.4)

Этот параметр обычно комплексный: Г = β − jα ; α - коэффициент затухания, т.е. величина потерь, вносимых отрезком линии единичной длины; β =ω/υф - коэффициент фазы, т.е. фазовый сдвиг на той же длине.

Общее решение уравнения (9.3) записывается в виде
U (z) = Ae− jГz + Be jГz .			(9.5)
Подставляя это выражение в первое уравнение (9.2), находится ток
I (z) =	1	(Ae− jГz − Be jГz ) ,	(9.6)
I (z) =	ZB	(Ae− jГz − Be jГz ) ,	(9.6)
	ZB
где величина
Z B =		jωL + R	(9.7)
		jωC + G

называется волновым сопротивлением линии.

Из формул (9.5) и (9.6) следует, что общее решение телеграфных уравнений равно сумме двух бегущих навстречу друг другу волн с произвольными комплексными амплитудами A и B соответственно.

В линии без потерь утечка полагается равной нулю (G=0, т.е. пространство между проводниками является непроводящим) и проводники считаются идеально проводящими (R=0), поэтому в этом случае

Z B = CL .

Рассмотрим вывод телеграфных уравнений (9.1) для линии передачи, состоящей из двух проводов – двухпроводной линии передачи без потерь

Рис. 9.1

(рис. 9.1).

Будем считать, что в первом проводе ток I=I(z, t), а во втором проводе(– I). Напряжение U=U(z, t) между проводами 1 и 2 будем определять как интеграл

2	r r
U = ∫	Edl ,	(9.8)
1

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны

#
02.05.201431 Кб30Вопросы по ЭМПиВ.doc
#
02.05.20145 Мб342Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf
#
02.05.2014820 Кб94Курсовая работа по эктродинамике.doc
#
02.05.2014652 Кб78Курсовая работа по эктродинамике1.doc
#
02.05.20143 Мб94Курсовая работа по эктродинамике2.doc
#
02.05.2014659 Кб63Курсовая работа по эктродинамике3.doc
#
02.05.2014579 Кб73Курсовая работа по эктродинамике4.doc