Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

Обратим внимание на то, что поля H&ϕ (13.23) и E&θ (13.24) синфазны. Кроме того, обе компоненты нормальны к r.

Обозначим j I&cmlk = A&me jωt . Тогда

4π

1. Поля, как указывалось выше, синфазны и их фаза Φ =ωt − kr . Если положить t=const (мгновенное распределение поля), то Φ = const соответст-

вует r=const, т.е. поля в дальней зоне образуют сферическую волну. Определим фазовую скорость этой волны. Представим Φ =ωt0 +ωτ − kr . Здесь t0 –

момент начала наблюдения, τ = t −t0 . Положим, что мы перемещаемся вдоль r со скоростью v. Тогда τ = r / v и фаза, которую мы наблюдаем

Φ =ωt0 + ωv r − kr . Если бы мы перемещались со скоростью v, равной фазо-

вой скорости волны vф, то фаза поля, которую мы наблюдаем, оставалась бы

2. В пространстве без потерь, которое мы рассматриваем, E и H убывают с увеличением расстояния от точечного ЭЭИ как 1/r.

3. Излучение ЭЭИ неизотропно: Е,Н пропорциональны sin θ. Для характеристики неизотропности излучателей вводится угловая характеристика

– диаграмма направленности: F(θ) = Eθ (θ) = sinθ .

Eθ max

4. Введем понятие волнового сопротивления пространства W0:

Здесь E&t , H&t - поперечные к направлению распространения компоненты волны, в данном случае E&t = Eθ , H&t = H&ϕ .

221

Подсчитаем теперь мощность излучения ЭЭИ. Для этого вначале определим вектор Пойнтинга для поля излучения ЭЭИ:

Для подсчета полной мощности излучения ЭЭИ воспользуемся следующей схемой. Окружим точечный ЭЭИ сферой радиуса r c центром в точ-

Сделаем здесь следующее необходимое замечание. Если использовать

полные выражения для полей (13.14), (13.19), мы получим те же формулы Sr&0

и P∑ , т.е. (13.28) и (13.29). Таким образом, полученные значения Sr&0 и P∑ не

есть следствия приближения kr>>1. Они остаются теми же при любых kr, в частности, в ближней зоне. Поскольку же P∑ не зависит от kr, мы получаем

важный вывод: мощность излучения постоянна в пространстве вокруг ЭЭИ независимо от r, т.е. в любой зоне. Следовательно, в установившемся гармоническом процессе излучения, который мы рассматриваем, нет каких-либо специальных зон, где формируется излучение («зон индукции», как говорится в некоторых учебниках и как считал Герц) и где его еще нет; излучение непрерывно в пространстве. Пользуясь этим, введем понятие о сопротивле-

нии излучения P∑ отрезка проводника l c током I&cт аналогично тому, как вводится обычное сопротивление, характеризующее джоулевы потери

P∑ = π3 Im2 (l / λ)2W 0 = 12 Im2 R∑ .

Отсюда следует формула R∑ :

222

При использовании формул (13.30), (13.31) не следует забывать, что они справедливы лишь при l / λ <<1, т.е. только для ЭЭИ. Поля и P∑ слож-

ных распределенных излучателей (антенн) могут быть найдены по заданному распределению I&ст(e) путем интегрирования полей ЭЭИ или использования

исходной формулы (13.6) для Πr& e (A) .

Следует также отметить, что для распределенных излучателей меняется и понятие ближней и волновой зон, поскольку фронт излучаемой такими излучателями волны формируется на расстояниях r>D, где D – максимальный размер антенны.

223

ГЛАВА XIV

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО МАГНИТНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ (ЭМИ)

14.1. Расчет поля ЭМИ

Как указывалось в первой части, во многих задачах возбуждения электромагнитных полей целесообразно введение фиктивных магнитных зарядов,

токов и диполей. Так, рамка со сторонним током I&ст при условии, что ее площадь S << λ2 является элементарным магнитным излучателем (ЭМИ) с магнитным моментом Mr& , связанным с I&ст следующим образом:

Щель в металлической стенке, возбуждаемая Er&ст , при l << λ также является ЭМИ.

Поле ЭМИ можно рассчитать с помощью магнитного вектора Герца

Πr& m . Однако проще воспользоваться свойством перестановочной двойственности уравнений Максвелла (см. первую часть). В соответствии с этим свойством при записи формул для составляющих поля ЭМИ следует воспользоваться соответствующими формулами (13.14), (13.18), (13.19) для полей ЭЭИ, сделав в них следующие переобозначения переменных:

Проводя замены (14.2) в формулах (13.14), (13.18), (13.19), получаем формулы для составляющих поля ЭМИ:

224

14.2. Анализ поля ЭМИ в квазистатической (ближней) зоне

Рассмотрим случай kr<<1, e− jkr ≈1. В таком пределе получаем из

(14.3)

I&m .

Выделяя таким же образом главные (по величине) члены в (14.4) и (14.5), имеем:

Поля (14.7) представляют собой квазистатическую часть полного магнитного поля ЭМИ и соответствуют стационарному полю магнитного диполя.

ные и к полю излучения отношения не имеют.

14.3. Анализ поля ЭМИ в волновой (дальней) зоне

Рассмотрим теперь противоположный случай, когда kr>>1 и поле приобретает волновой характер. Главные по величине составляющие поля ЭМИ теперь имеют следующий вид:

225

Анализ формул (14.10), (14.11) приводит к выводам того же характера, что и при анализе полей в волновой зоне ЭЭИ:

1) поля Е и Н синфазны и образуют структуру сферической волны, распространяющейся в направлении r0 от источника с фазовой скоростью

vф = ω / k =1/ εa µa ;

2)в пространстве без потерь Е и Н убывают пропорционально 1/r;

3)излучение ЭМИ неизотропно, диаграмма направленности F(θ)=sinθ;

4) отношение E& и H& равно волновому сопротивлению W 0 = µa /εa . Составим вектор Пойнтинга для поля излучения ЭМИ (14.10), (14.11):

Как и в случае ЭЭИ для подсчета полной мощности излучения ЭМИ, найдем поток Re Sr&0 через сферу радиуса r с центром в точке расположения ЭМИ. Тогда получим

= 43 π 3 ( S / λ2 )2 Im2W 0

Вводя, как и ранее, сопротивление излучения RΣ рамки с током Iст, получаем

В случае возбуждения волны в атмосфере или пустоте W 0 =120π [Ом]

и

226

ГЛАВА XV

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

При расчете электромагнитных полей часто удобно прибегать к декомпозиции задачи: сложный исследуемый электродинамический объект подразделяется на независимо анализируемые части, или автономные блоки. Эти блоки разделяются некоторыми заданными поверхностями, на которых задаются эквивалентные граничные условия, которые позволяют после решения краевой задачи для автономных блоков синтезировать решение общей (исходной) задачи. Один из способов согласования решений в отдельных подобластях - введение системы эквивалентных источников на граничных поверхностях. Например, стоит задача расчета поля излучения рупорной антенны (или рупорного облучателя антенны). Очевидно, задача возбуждения ЭМП от заданного распределения сторонних источников в рупоре является самостоятельной, довольно детально разработанной задачей. Поэтому можно

считать, что поле Er0 , Hr 0 на плоскости S раскрыва рупора известно (можно ввести в качестве границы не плоскость, а, например, участок сферической или эллипсоидальной поверхности, если это повышает точность представления граничных полей). Тогда для расчета поля излучения рупора удобно ввести на S эквивалентные источники ЭМП, определяемые через значения

Er0 , Hr 0 на S по следующей схеме.

Если заменить поверхность раскрыва рупора идеально проводящей по-

верхностью, то для задания на этой поверхности H 0 следует в соответствии с известными граничными условиями (глава, первая часть курса) ввести экви-

валентную поверхностную плотность тока δse :

nr - внешняя нормальr к S.

Для замены E0 следует ввести на S эквивалентную поверхностную плотность магнитного тока δsm , используя свойство перестановочной двойственности уравнений Максвелла:

С другой стороны, для гармонических источников имеем:

227

ГЛАВА XVI

ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

16.1. Определение плоских электромагнитных волн

rПлоскими называются электромагнитные волны, в которых векторы Е

иН нормальны к направлению распространения z, зависят только от z и не

зависят от поперечных к z координат q1, q2 (x, y, например).

Между тем, как следует из материалов глав XIII, XIV, поля элементарных источников в волновой зоне представляют собой сферические волны, расходящиеся от источников в свободном пространстве.

Плоскую волну можно рассматривать как некоторое приближение структуры сферической волны в конечном объеме, достаточно удаленном от источника. Геометрические характеристики такого объема V представлены на рис. 16.1.

Рис. 16.1.

Для определенности рассмотрим электромагнитное поле элементарного электрического излучателя (ЭЭИ), расположенного при r=0 в сферической системе координат r,θ ,ϕ , как это указано на рис. 16.1. Рассматриваемый ко-

нечный объем V расположен на расстоянии r0 от источника, внутри V r=r0+z, угловое расхождение по максимальным поперечным размерам V равно ∆θ . Поля источника в области V в сферической системе координат, как было установлено в главе XIII, для волновой зоны могут быть записаны как

E&θ = A&W 0e− jkr sinθ / r,

(16.1)

H&ϕ = A&e− jkr sinθ / r

Положим теперь, что поперечные размеры V настолько ограничены,

что ∆θ → 0 , а удаление V от источника настолько велико (а длина его L на-

θ0

229

столько ограничена), что L<<r0. Но в то же время будем предполагать, что L>> λ , т.е. kz – величина большая.

При указанных условиях

Используя приближение (16.2) в формулах (16.1), положим

При обозначении (16.3) с учетом (16.2) из (16.1) получаем следующее приближение для V:

E&θ = A&W 0e j( ωt−kz ) ,

(16.4)

H&ϕ = A&e j( ωt−kz )

В дальнейшем для описания плоских волн в V удобно ввести прямоугольную систему координат и переобозначить в (16.4): Е&θ = Е&Х , Н&ϕ = Н&У .

Тогда мы приходим к обычной записи компонент плоской волны в координа-

тах x, y, z:

E&Х = A0W 0e j( ωt−kz ) ,

(16.5)

H&У = A0e j( ωt−kz )

Поля Е&Х , Н&У , определяемые формулами (16.5) полностью соответст-

вуют определению плоской волны с амплитудой А0.

Нетрудно убедиться прямой подстановкой решений (16.5) в уравнения Максвелла, что они этим уравнениям удовлетворяют, т.е. приближение плоской волны вполне реально.

16.2. Плоские волны в однородной изотропной среде без потерь. Поляризация плоских волн

В рассматриваемом случае электрические и магнитные параметры среды εа и µа - действительные, постоянные (не зависящие от координат) и

скалярные (не тензоры) величины. Поэтому волновое число k имеет только фазовую постоянную β , постоянная затухания α равна нулю:

230