Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

ar3 = zr0 .

Найдем теперь элементы метрического тензора

g13 = ar1ar3 = −b1[(ρ −1) ∂∂bz + ∂∂bz1 ] = g31 ,

g23 = ar2ar3 = g32 = 0 .

Воспользуемся теперь определением оператора rot в косоугольной системе ρ,ϕ, z :

Применим (8.52) и найдем ковариантные компоненты уравнений Максвелла в системе ρ,ϕ, z . Однако при записи компонент введем вспомога-

101

тельные векторы Er′, Hr′,δr′,δ ′M таким образом, чтобы для них компоненты rot имели формальную запись, тождественную выражению их в ортогональной цилиндрической системе координат ρ,ϕ, z . Тогда преобразованные контравариантныеrкомпонентыr уравнений Максвелла для вспомогательных векторов Er′, Hr′,δ ′,δ ′M в системе переменных ρ,ϕ, z , которые рассматриваются теперь как ортогональные, имеют вид

вспомогательные следующим образом (на примере E):

Er = g11 (g11E′ρ + g12ρEϕ′ + g13E′z ) ,

Er = g22 (g21E′ρ + g22ρEϕ′ + g23E′z ) ,

Er = g33 (g31E′ρ + g32ρEϕ′ + g33E′z ) .

g33 = ar3ar3 =1+[(ρ −1) ∂∂bz + ∂∂bz1 ]2 .

В результате проведенных преобразований мы приходим к следующей переформулировке исходной краевой задачи возбуждения волн в произвольно нерегулярном коаксиальном волноводе (8.49): найти решения системы

102

Прежде чем переходить к решению (8.53), целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.53) электростатическую часть поля источ-

ников, содержащую разрыв первой производной E′ и магнитостатическую, содержащую разрыв H′.

ры и операция почленного дифференцирования представляющих их в реше-

нии рядов (rot E′, H′) допустима, поскольку эти ряды сходятся равномерно. Остановимся на решении задачи (8.55),(8.56), полагая режим устано-

вившимся и периодическим. Представим:

Er1t = Re∑Er&tme jmωt , Er1z = Re∑Er&zme jmωt , m m

i=1 n=−N

Здесь и далее индекс «t» обозначает поперечную составляющую соответствующих компонент

103

Собственные числа χniм, χnie определяются следующими дисперсионными уравнениями:

01

=1 2∫π 2∫π α∫g)δr1er−enie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

104

01

=1 2∫π 2∫π α∫g)δr1ar3ϕ−nie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

01

=− 1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мhr−enie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

01

=− 1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мhr−мnie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

01

=−π1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мψ−ni zr0e− jmωt ρd ρdϕ ,

01

=1 2∫π 2∫π ∫1 g)δr1ρr0dρdϕdωt ,

π0 0 0

01

=− 1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мϕr0dρdϕdωt .

π0 0 1

Уравнения (8.57)-(8.64) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую комплексные амплитуды связанных волн

A&mnie (z), A&mniм (z), B&mnie (z), B&mniм (z),C&mni (z), H&nmi (z), A&mT (z), B&mT (z) , т.е. (8.57)-(8.64)

представляет собой систему уравнений возбуждения динамических полей коаксиального волновода произвольной нерегулярной конфигурации, возбуж-

105

даемого негармоническими электрическими и магнитными токами источников.

В заключение заметим, что полученные уравнения возбуждения справедливы, строго говоря, только в случае, когда граничные поверхности коак-

сиального волновода не имеют изломов, т.е. ∂∂bz и ∂∂ϕb не имеют разрывов.

Практически, однако, они могут использоваться в этом случае, если при численном интегрировании уравнений обходить точки разрыва производных путем соответствующего выбора шага интегрирования.

8.7. Уравнения возбуждения нерегулярных замедляющих систем

Поставим задачу следующим образом. Требуется найти решение уравнений Максвелла для гармонических процессов

при граничных условиях импедансного типа

Hτ

Здесь координата z соответствует направлению оси замедляющей системы, поперечные координаты (в общем случае криволинейные) обозначим

q1 , q2.

Будем считать, что контур поперечного сечения замедляющей системы не зависит от z и её нерегулярность обусловлена только зависимостью от z импеданса стенок (или эквивалентных им боковых поверхностей, на которых задан Z&(z)).

106

r r

Функции ES , H S удовлетворяют граничным условиям (8.66) в каждом сечении z' и являются решениями однородных уравнений (8.65) для регулярной системы с Z& = Z&(z′) при всех z (соответственно и S (z′)= Const в экви-

валентной регулярной системе). Система функций ErS ортогональна в ка-

H S

ждом сечении z′, как и всякая система собственных волн регулярного волновода, т.е.

Поскольку, однако, S = S (z)≠ Const , поля (8.67) не удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла и система уравнений для них имеет вид

rotHrS = jωε&a ErS +ψrSe , rotErS = − jωµ&a HrS −ψrSm ,

где

Таким образом, ψrSe , ψrSm - чисто поперечные вектора, что существенно

в последующем выводе уравнений возбуждения.

Разделим все вектора на поперечные и продольные и запишем разложения для поперечных составляющих Et , Ht в виде

Ert = ∑(C&S (z)ErSt + C&−S (z)E−St ),

S

Hrt = ∑(C&S (z)HrSt + C&−S (z)H −St ).

S

Тогда нетрудно показать, что разложение полного поля, удовлетворяющего (8.65), должно быть записано в следующей форме (при доказатель-

стве используется тот факт, что ψrSml =ψrSel = 0 ):

107